Теоретические основы теплотехники - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.
x
x
t
x
t
∆
∆
∆
∆
≈
∂
∂
2
2
Здесь отношение ∆t/∆x – величина, близкая к величине проекции температурного градиента на ось x, а
выражение ∆(∆t/∆x) представляет собою разницу между ∆t/∆x справа и слева от анализируемого узла.
Выпишем значения этих отношений
x
tt
x
t
jiji
∆
−
=
∆
∆
+ ,,
прав
1
x
tt
x
t
jiji
∆
−
=
∆
∆
− ,,
лев
1
.
Значит
x
ttt
x
t
x
t
x
t
jijiji
∆
+−
=
∆
∆
−
∆
∆
=
∆
∆
∆
−+ ,,,
левправ
11
2
и далее
2
11
2
2
2
x
ttt
x
t
jijiji
∆
+−
≈
∂
∂
−+ ,,,
.
Аналогичные рассуждения для оси у позволяют получить
2
11
2
2
2
y
ttt
y
t
jijiji
∆
+−
≈
∂
∂
−+ ,,,
.
В итоге дискретный аналог дифференциального уравнения (2.22) представляется в виде
.
,,,,,,
0
22
2
11
2
11
=
∆
+−
+
∆
+−
−+−+
y
ttt
x
ttt
jijijijijiji
(2.23)
Это уравнение описывает связь между температурами соседних элементов для любого из внутренних
узлов сетки. Для узлов, выходящих за границы пластины, температура или известна (заданы ГУ-1), или
может быть определена из уравнений, описывающих ГУ. Таким образом, для всех n (n = ij – n
кр
) неиз-
вестных температур формула (2.23) дает n линейных алгебраических уравнений. Эти уравнения заметно
упрощаются, если принять ∆x = ∆y:
04
1111
=−+++
−+−= jijijijiji
ttttt
,,,,,
. (2.24)
Прежде чем говорить о методах решения полученной системы, отметим три важнейших свойства
разностных схем: аппроксимируемость, устойчивость и сходимость решения. Первое означает, что при ∆x
→ 0 и ∆y → 0, т.е. решение системы алгебраических уравнений стремится к решению исходного
дифференциального уравнения. Устойчивой называется схема, для которой ошибки округления при
уменьшении шагов
∆x и ∆y не приводят к большим искажениям решения. Сходимость означает, что по
мере уменьшения ∆x и ∆y решение системы все ближе сходится с истинным решением. Сходимость вы-
ступает как следствие аппроксимируемости и устойчивости. Анализ различных конечно-разностных
схем на устойчивость и сходимость приведен в [18], [19].
Полученную систему уравнений решают обычно на ЭВМ методом прогонки или путем последова-
тельного исключения неизвестных (метод Гаусса), о которых речь пойдет позже, теперь же рассмотрим
другой оригинальный метод – метод релаксаций. Суть этого метода в следующем. Сначала в узлах сет-
ки записывают ожидаемые, интуитивно выбранные значения температур. Конечно они не будут удовле-
творять уравнению (2.24) и вместо равенства нулю в каждом узле сетки мы будем получать некоторый
остаток R
o
:
jijijijiji
tttttR
,,,,,о
4
1111
−+++=
−+−+
.
Величина R
o
говорит о том, насколько правильно были выбраны значения температур в окрестностях
каждого узла в первом приближении.
Найдем значения R
o
для всех узлов. Там, где величина R
o
окажется наибольшей, температуры были
выбраны наименее удачно и именно для этого узла надо их скорректировать. Для этого наибольшее
значение R
o
делим на четыре части и результат добавляем к остаткам четырех соседних узлов. После это-
го остаток в рассматриваемом узле станет равен нулю, но изменятся остатки соседних узлов. Вновь про-
сматривая все остатки, снова выбираем узел, где остаток наибольший и повторяем процедуру сглажива-
ния остатков в этом узле. Повторяя такое сглаживание до тех пор, пока все остатки не станут равными
нулю (точнее – некоторой относительно небольшой величине), приходим к решению задачи.

Страницы