Теоретические основы теплотехники - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Здесь α – коэффициент теплоотдачи на поверхности исследуемого тела; F, V – поверхность и объем; ρ, c
– плотность и удельная теплоемкость тела. Заметив, что dt = d (t – t
ж
), формулу (2.25) перепишем по
другому
.
)(
ж
ж
tt
ttd
d
Vpc
F
−
−
=τ
α
−
В результате получено простое дифференциальное уравнение, интегрирование которого дает:
Cttm
p
+−=τ− )ln(
ж
,
где ))/((
cp
VpFm α= – коэффициент пропорциональности, называемый темпом охлаждения (или темпом
нагревания, когда t
ж
> t); C – некоторая произвольная постоянная, определить которую можно из усло-
вий однозначности.
Потенцируем полученную формулу
С
m
ette
p
)(
ж
−=
τ−
и представляем результат в виде
τ−
+=
p
m
Aett
ж
.
Здесь величина
)exp( CA −= представляет собою тоже некоторую константу. Полученная формула опи-
сывает основную особенность регулярного режима: с течением времени температура в любой точке те-
ла изменяется по закону экспоненты. В различных точках различны только константы A.
Для тел простой формы сопоставлением приведенной формулы и результатов аналитического ре-
шения для характерных точек определены формулы, позволяющие рассчитать темп охлаждения m
p
для
любого случая, т.е. и тогда, когда температуропроводность тела невелика и процесс теплопроводности
сопровождается сложным распределением температуры в теле.
Выявленная особенность регулярного режима лежит в основе многих экспериментальных методов
определения коэффициентов теплопроводности и температуропроводности, когда по эксперименталь-
ной термограмме находят темп охлаждения m
p
, и по его величине – значения коэффициентов λ и α.
2.2.14 Общее решение дифференциального уравнения
теплопроводности
И
з всего множества методов решения задач теплопроводности рассмотрим подробнее метод непосредст-
венного интегрирования путем разделения переменных (метод Фурье). При этом ради упрощения огра-
ничимся анализом одномерного нестационарного температурного поля, для которого дифференциаль-
ное уравнение теплопроводности запишется в виде
.
2
2
x
t
a
t
∂
∂
=
τ∂
∂
(2.26)
Решение t = (x, τ) будем искать в виде произведения двух функций ϕ и ψ, причем первая из них зависит
только от τ, а вторая – только от x:
.)()( xt
ψ
τ
ϕ
=
(2.27)
Продифференцируем формулу (2.27), определив производные
τ
∂
∂
/t и
22
dxtd /
;ψ
τ∂
ϕ∂
=
τ∂
∂t
;ϕ
∂
ψ
∂
=
∂
∂
x
x
t
ϕ
∂
ψ∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
x
x
t
x
x
t
и подставим полученные значения в уравнение (2.26):
ϕ
∂
ψ∂
=ψ
τ∂
ϕ∂
2
2
x
a

Страницы