Теоретические основы теплотехники - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ассмотрим процесс охлаждения неограниченной плоской стенки, которая в начальный момент
имела равномерно распределенную
температуру t
0
и была быстро помещена в жидкую среду с температурой t
ж
.
При этом будем считать, что интенсивность теплообмена между стенкой и
жидкостью, определяемая величиной коэффициента теплоотдачи α, в тече-
ние процесса остается постоянной. Такая стенка и распределение темпера-
туры в ней для ряда последовательных моментов времени τ
1
, τ
2
, τ
3
, ... пока-
заны на рис. 2.24. В силу симметрии ось t, совпадающую с осью z, удобно
провести в плоскости симметрии, обозначая половину толщины стенки
через δ.
При решении задач всегда удобнее вместо истинного значения темпе-
ратуры t рассматривать избыточную температуру Θ = t – t
ж
. В этом случае,
учитывая что
Θ
=
ddt
, формула (2.26) принимает вид
,
2
2
x
a
d
d
∂
Θ∂
=
τ
Θ
а значит и общее решение (2.31) будет выглядеть следующим образом:
)sincos()exp( kxCkxCakC
32
2
1
+τ−=Θ
. (2.32)
Чтобы найти константы С
1
, С
2
, С
3
и k, воспользуемся условиями однозначности. В силу симметрии
значение производной
)/( x∂Θ∂
при x = 0 должно быть равным нулю. Продифференцируем формулу
(2.32):
)cossin()exp()/( kxkCkxkCakCx
32
2
1
+−τ−=∂Θ∂ .
При ,sin 00 == kxx a
1=kxcos
. Тогда приведенная формула сводится к уравнению
)10()exp(0
3
2
1
⋅+−τ−= kCakC ,
откуда получаем С
3
= 0. В результате общее решение несколько упрощается
kxakAkxakCC cos)exp(cos)exp(
22
21
τ−=τ−=Θ
, (2.33)
где через A обозначена произвольная постоянная,
21
CCA
=
.
Запишем теперь дифференциальное уравнение ГУ-3:
.)(
ж
δ=
∂
∂
λ−=−α
x
x
t
tt
С учетом соотношений
ж
tt
−
=Θ и Θ= ddt его можно представить в виде
δ=δ=
∂
Θ
∂
λ
−
=
Θ
α
xx
x)/( . (2.34)
Дифференцируя (2.33), найдем частную производную
)sin()exp( δ−τ−=
∂
Θ∂
δ=
kkakA
x
x
2
.
Подставим выражения для
δ=
Θ
x
и
δ=
∂Θ∂
x
x)/( в формулу (2.34):
.)sin()exp(cos)exp( δ−τ−λ−=δτ−α kkakAkakA
22
Р
x
Рис. 2.24 Нестацио-
нарное температурное
поле
плоской стенки

Страницы