Теоретические основы теплотехники - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∫
∑
∫
−
=
−
µ
µ=µΘ
1
1
1
1
1
0
.)(cos)(cos)(cos dXXXAdXX
ii
n
i
ii
В правой части все слагаемые суммы, кроме i-гo, равны нулю, поэтому уравнение упрощается:
∫∫
−−
µ=µΘ
1
1
2
1
1
0
.)(cos)(cos dXXAdXX
iii
(2.37)
Находим теперь значения полученных табличных интегралов
[]
.sin)sin(sin)sin()cos(
i
i
ii
i
i
i
i
XdXX µ
µ
=µ−µ
µ
=µ
µ
=µ
∫
−
−
211
1
1
1
1
[]
.
)sin(
)(sin)(sin
)(sin)(cos
i
i
ii
i
i
i
i
XXdXX
µ
µ
+=µ−−µ
µ
+=
=µ
µ
+=µ
−−
−
∫
2
2
122
4
1
1
2
4
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
Далее из уравнения (2.37) находим неизвестную постоянную A
i
:
.
sin
sin
µ
µ
+µ
µ
Θ
=
i
i
i
i
i
A
2
2
1
2
0
Таким образом, общее решение в окончательном виде будет
.)(cos)Fo(exp
sin
sin
X
i
i
i
i
i
i
µµ−
µ
µ
+µ
µ
Θ=Θ
∑
∞
=
2
1
0
2
2
1
2
(2.38)
Еще раз отметим, что бесконечный ряд с увеличением τ (растет число Fo) быстро сходится, поэтому да-
же при точных расчетах учитывают только три – четыре первых слагаемых этого ряда. При Fo > 0,3 с
погрешностью не более 5 % всю сумму можно заменить одним первым слагаемым.
Расчет температуры в любой точке стенки по формуле (2.38) достаточно трудоемок. Поэтому в ин-
женерной практике для решения отдельных задач (при x = 0, X = 0 и x = δ, X = 1) пользуются специаль-
ными номограммами, где зависимости Θ
~
= f (Bi, Fo, X) представлены графически (
0
/
~
ΘΘ=Θ – безраз-
мерная температура).
Полученные результаты можно использовать и для решения задач нестационарной теплопроводно-
сти пластин при двумерном или трехмерном температурном поле. При этом используется принцип су-
перпозиций (наложения полей) и легко доказывается теорема о перемножении решений, в соответствии
с которой температурное поле ограниченного параллелепипеда, например, определяется произведением
zyxzyx
ΘΘΘ=Θ
~
~
~
~
,,
,
где Θ
~
x
, Θ
~
y
, Θ
~
z
– относительные температуры, рассчитанные отдельно для каждой бесконечной стенки,
которые получаются, если мысленно продолжать соответствующую пару параллельных граней.
2.2.16 Метод источников теплоты
Мгновенно сердце молодое горит и гаснет
В нем любовь проходит и приходит вновь
А. С. Пушкин

Страницы