Теоретические основы теплотехники - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

После сокращений и простейших преобразований получаем трансцендентное уравнение, содержащее
одну неизвестную – величину k:
α
λ
=δ
k
kctg .
Прежде чем перейти к решению этого уравнения, обычно его видоизменяют следующим образом:
.ctg
λ
αδ
δ
=
αδ
δ
λ
=δ
kk
k
Безразмерный комплекс (αδ) / λ, характеризующий собой отношение термических сопротивлений в зо-
не контакта тела с жидкостью, называют числом Био. Эта величина в обобщенной форме фиксирует ГУ-
3 и определяет подобие процессов теплопроводности (более подробно о подобии явлений и о числах
подобия будет рассказано позже). Обозначим
µ
=
δ
k и (αδ) / λ = Bi. Тогда предыдущее уравнение при-
мет вид
µ=µ
Bi
ctg
1
. (2.35)
На рис. 2.25 приведено графическое решение этого уравнения для некоторого конкретного значения
числа Bi. Из рисунка видно, что уравнение (2.35) имеет бесконечное множество корней, µ
1
, µ
2
, µ
3
, при-
чем с увеличением номера корня i величина его стремится к пределу (i – 1) π. Значения корней µ
i
рассчитаны численным методом на ЭВМ для любых значений числа Bi и приведены в технической ли-
тературе [22]. Реализация ГУ-3 позволила нам определить множество констант разделения )./(
δ
µ
=
iii
kk
Теперь любое частное решение в соответствии с формулой (2.33) принимает вид
δ
µ
µ
δ
τ
−=Θ
xa
A
iiii
cosexp
2
, i = 1, 2, 3, ...
а общее решение определится суммой этих частных решений:
)cos()Foexp( XA
ii
i
i
i
i
µµ−=Θ=Θ
∑∑
∞
=
∞
=
2
11
,
где для краткости обозначено:
δ= /xX – безразмерная относительная координата точки;
2
δατ= /)(Fo –
значение числа Фурье, определяющее сходственные моменты времени у подобных явлений.
Значения произвольных постоянных A
i
найдем, реализуя начальные условия. При τ = 0 Θ = Θ
0
и
предыдущая формула принимает вид
)cos( XA
i
i
i
µ⋅⋅=Θ
∑
∞
=
1
1
0
. (2.36)
Функция )cos( X
i
µ – это функция четная, т.е. )cos()cos( XX
ii
µ
−
=
µ
, а такие функции обладают свойством
ортогональности, которое записывается для нашего случая так:
==µ
≠
=µµ
∫
∫
−
−
1
1
2
1
1
0
inmdXX
nm
dXXX
i
nm
при)(cos
при
)cos()cos(
.
Чтобы воспользоваться этим свойством, умножим почленно уравнение (2.36) на dXX
i
)(cos
µ
и про-
интегрируем правую и левую части в пределах от –1 до 1 (x меняется от –δ до + δ):

Страницы