Теоретические основы теплотехники - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

или
.
2
2
111
x
a
∂
ψ∂
ψ
=
τ∂
ϕ∂
ϕ
(2.28)
Теперь левая часть приведенной формулы зависит только от τ, а правая – только от x. Для некоторо-
го фиксированного момента времени τ величины ϕ и
τ
∂
ϕ
∂
/ принимают некоторые численные значения и
левая часть формулы (2.28) превращается в константу (ее называют константой разделения). Чтобы ре-
шение было не нулевым и по мере увеличения τ величина t не увеличивалась бы бесконечно, а стреми-
лась к некоторому постоянному значению, величина константы разделения должна быть отрицатель-
ной. Обозначим ее через – k . Естественно, что и правая часть формулы (2.28) равна – k.
С учетом изложенного уравнение (2.28) можно заменить теперь системой из двух обыкновенных
дифференциальных уравнений:
ϕ−=
τ∂
ϕ
∂
2
ak
; (2.29)
.
2
2
2
k
dx
d
ψ−=
ψ
(2.30)
Интегрирование этих уравнений несложно. Для этого в уравнении (2.29) сначала разнесем перемен-
ные:
.τ−=
ϕ
ϕ
dak
d
2
Тогда после интегрирования получаем
Cak +τ−=ϕ
2
ln ,
где C – константа интегрирования. Потенцируя полученную формулу, находим
,)exp())exp(exp(
2
1
2
akCCak −=−=ϕ
где C
1
– пока еще неизвестная произвольная постоянная. Общим решением уравнения (2.30) является
выражение
,sincos kxCkxC
32
+
=
ψ
в чем легко убедиться, дифференцируя его по x дважды:
;cos)(sin kxkCkxkC
dx
d
32
+=
ψ
.sincos
22
3
2
2
2
2
kkxkCkxkC
dx
d
dx
d
dx
d
ψ−=−−=
ψ
=
ψ
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (2.26) в соответствии с формулой
(2.27) получаем в виде
,)sincos()exp( kxCkxCakCt
32
2
1
+τ−=
(2.31)
где произвольные постоянные C
1
, C
2
, C
3
и константа разделения k должны определяться из условий од-
нозначности.
2.2.15 Нестационарная теплопроводность
неограниченной плоской стенки
В каждой дисциплине столько науки,
сколько в ней математики
Э. Кант

Страницы