Теоретические основы теплотехники - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Ч
асто теплопроводность возникает от действия на поверхности или внутри тела различных источников
(или стоков) тепла. Температурное поле, возникающее под действием мгновенного точечного источни-
ка внутри неограниченного тела описывается выражением, которое является другим фундаментальным
решением дифференциального уравнения теплопроводности:
,exp
)(
/
*
ατ
−
πταλ
=Θ
4
4
2
23
RQ
(2.39)
где
00
ttt ;−=Θ – начальная температура тела; Q
*
– количество выделяемого источником тепла;
2
и
2
и
2
и
)()()( zzyyxxR −+−+−= – расстояние между источником тепла ),,(
иии
zyxI и исследуемой точкой
),,( zyxM . В справедливости этого решения легко убедиться, дифференцируя формулу (2.39) и подстав-
ляя полученные выражения в дифференциальное уравнение теплопроводности, которое в результате
превращается в тождество.
Фундаментальное решение (2.39) позволяет для очень многих случаев записать функцию (в виде
интеграла), удовлетворяющую дифференциальному уравнению теплопроводности, т.е. решить задачу.
Три основные принципа помогают реализовать идею конструирования решений на основе формулы
(2.39):
1 Источник любой формы, действующий мгновенно, циклически или непрерывно, неподвижный
или движущийся можно представить как некую систему точечных мгновенных источников тепла
(принцип конструирования источников).
2 Температурное поле от каждого точечного источника накладывается на поля других источников
и результирующая температура в любой точке тела определяется суммой температур от каждого источ-
ника (принцип суперпозиции температурных полей).
3 Процесс распространения тепла в телах ограниченных размеров можно представить как процесс
теплопроводности в неограниченном теле, если фактически действующие источники дополнить некото-
рой системой фиктивных источников или стоков (принцип отражения источников).
Для иллюстрации применения этих принципов рассмотрим решение ряда конкретных задач.
Пусть требуется найти температурное поле в неограниченном теле при действии в нем мгновенного
линейного источника тепла, расположенного параллельно оси
z
(см. рис. 2.26). Такой источник можно
представить как множество одновременно вспыхивающих мгновенных источников тепла, расположен-
ных на линии AB. Температурное поле каждого источника описывается формулой (2.39). В результате
суперпозиций температура в любой точке тела определится суммой
.exp
)(
/
*
млн
τ
−
πτλ
=Θ
∑
=
a
R
a
Q
n
i
4
4
2
1
23
(2.40)
Интенсивность линейного источника обычно характеризуют количеством тепла, выделяемого на один
метр его длины
*
l
Q
. Если длина точечного источника ∆z, то
zQQ
l
∆=
**
. Подставим это выражение в формулу
(2.40), одновременно устремляя ∆z к нулю, a n – к бесконечности. Тогда, вспоминая из математики опреде-
ление интеграла, можем записать
=
τ
−
πτλ
=Θ
∫
∞=
−∞=
dz
a
R
a
Q
z
z
l
4
exp
)4(
2
2/3
*
млн
=
τ
−
−
τ
−+−
−
πτλ
=
∫
∞=
−∞=
dz
a
zz
a
yyxx
a
Q
z
z
ииl
44
4
2
22
23
)(
exp
)()(
exp
)(
и
/
*

Страницы