Математическая культура. Мациевский С.В. - 30 стр.

                      п. 2. Отношение эквивалентности
        1. Операции на множествах. Объединение, или сумма, множеств A
     и B называется множество A � B = A + B = {∀x: x ∈ A или x ∈ B}.
        Пересечением, или произведением, множеств A и B называется мно-
     жество A  B = A·B = AB = {∀x: x ∈ A и x ∈ B}.
        Имеют место законы идемпотентности: A � A = A, A  A = A.
        Разностью множеств B и A называется множество B\A = B – A =
     = {∀x: x ∈ B и x ∉ A}. Если A ⊂ B, то разность множеств B\A называется
     дополнением множества A до множества B
        Для изображения операций на множествах используют диаграммы
     Венна, или Эйлера, которыми пользовался еще Аристотель.

A�     B                  A�   B                 A\ B                 A\ B
       A              B        A             B      A             B          A          B
         Упр. 3. Нарисуйте на диаграммах Венна: 1) симметрическую раз-
     ность A � B = (A\B) � (B\A); 2) множество (A � B)\(B  A).
         2. Отношение эквивалентности. Любое множество ϕ пар элементов
     множества A: ϕ = {(a, b): а ∈A, b ∈A},— называется бинарным отношением
     на множестве A. Элементы a и b находятся в отношении ϕ, если (a, b) ∈ ϕ.
         Если из того, что (a, b) ∈ ϕ, следует, что также и (b, a) ∈ ϕ, то отноше-
     ние ϕ симметрично, или взаимно.
         Если из того, что (a, b) ∈ ϕ и (b, c) ∈ ϕ, следует, что (a, c) ∈ ϕ, то отно-
     шение ϕ транзитивно, или переходно.
         Если ∀a∈A (a, a) ∈ ϕ, то отношение ϕ рефлексивно.
         Отношение эквивалентности — бинарное отношение, одновременно
     симметричное, транзитивное и рефлексивное. Обозначение: ~, a ~ b.
         3. Классификация. Разбиение множества A на клас-
     сы, или классификация — разбиение A на попарно непе-
     ресекающиеся подмножества, классы, дающие в сумме все
     A.
         Теорема. Если на множестве определено отношение эквивалентности,
     то тем самым множество разбито на классы эквивалентных элементов. И
     наоборот, если множество классифицировано, то на нем задано отношение
     эквивалентности: входящие в один класс элементы эквивалентны.
         Примеры.
         1. «Быть одного рода» — отношение эквивалентности на множестве
     существительных русского языка. Докажем это. Симметричность: если
     слова a и b одного рода, то b и a тоже. Транзитивность: если a и b одного
     рода, а также b и c одного рода, то a и c того же рода. Рефлексивность:
     слово всегда того рода, какой имеет. Итак, имеем три класса на множестве
     существительных: мужской, женский и средний роды.


                                            29