Математическая культура. Мациевский С.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

30
2. Множество действительных чисел R можно разбить на два класса:
алгебраические числа и трансцендентные числа.
п. 3. Функция
1. Определение. Пусть U и V — два множества.
Функцией, или отображением, из U в V называет-
ся такая зависимость, когда для
любого x ∈ U ∃ единственный y ∈ V.
Здесь
x — аргумент функции, или независимая переменная, y — значе-
ние функции, или зависимая переменная
. Обозначения: f : U → V; y = f(x).
Примеры. Пусть
U ={1, 2}, V ={а, б}. Зададим следующие зависимости:
1) зависимость
f: f (1) = а, f (2) = а; 2) зависимость g: g(1) = а, g(2) = б;
3) зависимость
h: h(1) = а; 4) зависимость i: i(1) = а, i(1) = б, i(2) = б.
.
Упр. 4. Какие из зависимостей
f, g, h, i — функции, а какие — нет?
2. Биекция. Функция f : U → V называется сюръек-
цией, или отображением «на»
, если f (U) = V, т.е. образ
множества
U равен множеству V. Поэтому функция не
является сюръекцией, если
∃x ∈ V: x ∉f (U).
Функция
f : U → V называется инъекцией, или вло-
жением
, если ∀x
1
, x
2
∈U, x
1
≠ x
2
их образы тоже различ-
ны:
f (x
1
) ≠ f (x
2
). Отсюда функция не является инъекцией,
если
∃ x
1
, x
2
∈U: x
1
≠ x
2
, но f (x
1
) = f (x
2
).
Функция
f : U → V называется биекцией, или взаимно-однозначным
cоответствием
, если она сюръективна и инъективна одновременно.
Обозначение биекции:
f : U ↔ V.
Упр. 5. Какие из примеров
f, g, h, i сюръекции, инъекции, биекции?
Нарисуйте иллюстрацию к понятию «биекция».
3. Принцип Дирихле: для любого конечного множества U понятия
инъекции, сюръекции и биекции при отображении этого множества
на себя
f : U → U совпадают!
Принцип Дирихле формулируют еще так: если в n «ящиках» лежит
n + 1 «предмет», то хотя бы в одном «ящике» лежит более 1 «предмета».
Пример. Контрольную работу из 6 вариантов пишут 14 студентов. До-
кажем, что хотя бы один вариант пишут более двух студентов. Пусть вари-
анты — «ящики», а пары студентов — «предметы». Имеем 6 «ящиков» и 7
«предметов». Тогда по принципу Дирихле хотя бы в одном «ящике» лежит
U
f
V
f
(U)
f
1
а
g
1 а
h
1 а
i
1 а
2 б 2 б 2 б 2 б 
   2. Множество действительных чисел R можно разбить на два класса:
алгебраические числа и трансцендентные числа.
                             п. 3. Функция              U            V
    1. Определение. Пусть U и V — два множества.                       f    f(U)
Функцией, или отображением, из U в V называет-
ся такая зависимость, когда для любого x ∈ U ∃ единственный y ∈ V.
Здесь x — аргумент функции, или независимая переменная, y — значе-
ние функции, или зависимая переменная. Обозначения: f : U → V; y = f(x).
    Примеры. Пусть U ={1, 2}, V ={а, б}. Зададим следующие зависимости:
1) зависимость f: f (1) = а, f (2) = а; 2) зависимость g: g(1) = а, g(2) = б;
3) зависимость h: h(1) = а; 4) зависимость i: i(1) = а, i(1) = б, i(2) = б.

    1      а           1      а             1      а            1   а
f                  g                   h                    i
    2      б           2      б             2      б            2   б
     .
     Упр. 4. Какие из зависимостей f, g, h, i — функции, а какие — нет?
     2. Биекция. Функция f : U → V называется сюръек-
цией, или отображением «на», если f (U) = V, т.е. образ
множества U равен множеству V. Поэтому функция не
является сюръекцией, если ∃x ∈ V: x ∉f (U).
     Функция f : U → V называется инъекцией, или вло-
жением, если ∀x1, x2 ∈U, x1 ≠ x2 их образы тоже различ-
ны: f (x1) ≠ f (x2). Отсюда функция не является инъекцией,
если ∃ x1, x2 ∈U: x1 ≠ x2, но f (x1) = f (x2).
     Функция f : U → V называется биекцией, или взаимно-однозначным
cоответствием, если она сюръективна и инъективна одновременно.
     Обозначение биекции: f : U ↔ V.
     Упр. 5. Какие из примеров f, g, h, i сюръекции, инъекции, биекции?
     Нарисуйте иллюстрацию к понятию «биекция».
     3. Принцип Дирихле: для любого конечного множества U понятия
инъекции, сюръекции и биекции при отображении этого множества на себя
f : U → U совпадают!
     Принцип Дирихле формулируют еще так: если в n «ящиках» лежит
n + 1 «предмет», то хотя бы в одном «ящике» лежит более 1 «предмета».
     Пример. Контрольную работу из 6 вариантов пишут 14 студентов. До-
кажем, что хотя бы один вариант пишут более двух студентов. Пусть вари-
анты — «ящики», а пары студентов — «предметы». Имеем 6 «ящиков» и 7
«предметов». Тогда по принципу Дирихле хотя бы в одном «ящике» лежит

                                       30

Страницы