Математическая культура. Мациевский С.В. - 29 стр.

                       § 2. Теория множеств
                                      Кто-то выдвинул робко отчаянный план:
                                      Рассадить их по двум кораблям.
                                      Но решительно не пожелал капитан
                                      Экипаж свой делить пополам.
                                               Льюис Кэрролл. Охота на Снарка.
                            п. 1. Множество
    1. Задание. Множество — одно из самых часто употребляемых поня-
тий в повседневной жизни, имеет множество синонимов (класс, косяк, на-
бор, обойма, стадо, стая ), иногда со специальными оттенками.
    Множество — любое собрание, коллекция любых объектов. Обозна-
чение: прописные латинские буквы A, B, C          Элемент множества —
любой объект множества: а ∈ A. Обозначение не принадлежности: i ∉ A.
    Cлово «любые» заменяется символом ∀ — квантором всеобщности, а
слово «существует» — символом ∃ — квантором существования.
    Примеры множеств.
    1. Арабские цифры: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}.
    2. Римские цифры: R = {I, X, C, M, V, L, D}.
    3. Слова русского языка: S = {∀s: s — слово русского языка}.
    4. Тексты на русском языке: T = {∀t: t — тексты на русском языке}.
    Множество конечно, если оно содержит натуральное или нулевое чис-
ло элементов, и бесконечно, если оно не является конечным. Обозначение
числа элементов множества A: |A|. В примерах все множества конечны,
причем |A| = 10, |R| = 7.
    Упр. 1. Выписать множества всех русских, латинских и греческих букв
с их названиями по образцу: R = {А, а, «А», Б, б, «Бэ», В, в, «Вэ», }.
    2. Подмножество. Множество A называется подмножеством множе-
ства B, или множество A принадлежит множеству B, если ∀ элемент A
принадлежит также и B. Обозначение: A ⊂ B. Множество A не принадле-
жит множеству B, если ∃ x: x ∈A и x ∉B. Обозначение: A ⊄ B.
    Пустым множеством, или нуль-множеством, называется множество
∅ = {∀x: x ∉ ∅}. Считается, что ∀A ∅ ⊂ A. Существует только одно пус-
тое множество. Заметим, что ∅ ≠ {∅}.
    Подмножество A ⊂ B называется собственным, если A ≠ B и A ≠ ∅.
Подмножества A и ∅ множества A называются тривиальными.
    Булеаном множества A называется множество всех подмножеств мно-
жества A. Обозначается готической буквой N (A).
    Примеры.
    1. Пусть A = {1, 2}, B = {1}, C = {3}. Тогда B ⊂ A, С ⊄ A, С ⊄ B, B ⊄ C,
A ⊄ B, A ⊄ C. Из них B — собственное подмножество A.
    2) ∅ = {∀x: x — цифра русского алфавита}.
    3) N ({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}},— в множестве 4 элемента.
    Упр. 2. Выписать множество N ({1, 2, 3}). Чему равно |N ({1, 2, 3})|?

                                     28