Математическая культура. Мациевский С.В. - 27 стр.

    Рассмотрим повороты квадрата вокруг его центра. То-                    B
гда самосовмещение квадрата определяется тем, на какую
сторону ляжет выделенная сторона E. Получаем всего 4 C                        A
различных самосовмещения: e — тождественное (поворот
на 0°), a — поворот на 90° (сторона E попадает на A), b —                  E
поворот на 180° и c — поворот на 270°.
    Произведение x · y любых двух самосовмещений определяется как ком-
позиция поворотов: сначала выполняется поворот x, а затем — поворот y.
Имеет место ассоциативность (x · y) · z = x · (y · z) для любых 3 самосовме-
щений.
    Упр. 8. Приведите 2 примера ассоциативности произведения самосовмещений.
    Для любого самосовмещения x поворот e выполняет роль · e a b c
единицы, поскольку x · e = e · x = x. Имеем 1-ю строку и 1-й e e a b c
столбец таблицы умножения поворотов квадрата. Например, a a b
прозведение a · a = b, т.к. поворот на 90°+90° дает 180°.              b b
                                                                       c c
    Упр. 9. Заполните до конца эту таблицу умножения.
    Всякому повороту x соответствует единственный обратный поворот x–1
такой, что x · x–1 = x–1 · x = e. Например, поскольку a · c = e, то a–1 = c.
    Упр. 10. Чеиу равно b–1, c–1, e–1?
    3. Группа. Обобщим два предыдущих пункта. Группой называется сово-
купность объектов G, для любых двух элементов которой a и b определена
операция (a, b) → a ∗ b (обычно «умножение» иди «сложение»). Причем эта
операция должна удовлетворять следующим трем аксиомам группы.
    I. Ассоциативность. Для любых трех элементов a, b и c из группы G
имеет место тождество (a ∗ b) ∗ c ≡ a ∗ (b ∗ c).
    II. Существование единицы группы. Существует такой элемент e
группы G, что для любого другого элемента a имеем: e ∗ a = a ∗ e = e.
    III. Существование обратного элемента. Для любого элемента a из
группы G найдется такой обратный элемент b, что a ∗ b = b ∗ a = e.
    Если выполняется только аксиома I, то имеем полугруппу.
    Группа (полугруппа) называется коммутативной, или абелевой, если
операция группы (полугруппы) коммутативна. Это означает, что для лю-
бых a и b произведение a ∗ b перестановочно: a ∗ b = b ∗ a.
    Примеры.
    1. Совокупность слов (п. 1) — полугруппа с единицей неабелева, т.к. если
a = <ли>, b = <па>, то a ⊗ b = <липа>, но b ⊗ a = <пали>, т.е. a ⊗ b ≠ b ⊗ a.
    2. Повороты квадрата образуют абелеву группу.
    3. Натуральные числа N с операцией сложения образуют абелеву полугруп-
пу без единицы, а с операцией умножения — абелеву полугруппу с единицей.
    4. Целые числа Z с операцией сложения образуют абелеву группу.


                                      26