Математическая культура. Мациевский С.В. - 26 стр.

                      п. 4. Комплексное число
    Не каждый многочлен с целыми коэффициентами имеет корни. Напри-
мер, квадратный двучлен x2 + 1 корней не имеет,— среди действительных
чисел нет числа, квадрат которого равен –1. А теперь добавим к действи-
тельным числам некое число i, квадрат которого равен –1: i2 = –1. Это чис-
ло называется мнимой единицей. Обозначение: i ≡ –1 .
    Полученный таким образом набор чисел вместе с результатами ариф-
метических операций над ними называют комплексными числами C.
Комплексные числа z записывают в виде z = x + iy, где x и y — веществен-
ные числа, i — мнимая единица. x = Re z называется вещественной ча-
стью комплексного числа z, y = Im z — мнимой частью.
    Действительные числа — частный случай комплексных при y = 0. Не
действительные числа, т.е. комплексные при y ≠ 0, называютя мнимыми.
Любой многочлен с коэффициентами из C имеет корень в C!
    Комплексные числа наглядно изображают на коорди- Im z
натной плоскости: на горизонтальной оси лежат вещест-        2      1+2i
венные числа Re z, а на вертикальной — мнимые числа
Im z. На рисунке показано число z = 1 + 2i.                  1
    Упр. 6. Изобразите числа z = 1–2i, z = –1+2i, z = –1–2i.
                                                            0    1    Re z
                 п. 5. Теория групп
    1. Слово. Не только числа можно складывать, умножать и т.д.
    Алфавит A — любая совокупность символов. Пусть это все русские
буквы: а, б, , я. Слово над алфавитом A — любая конечная последова-
тельность символов из A. Примеры слов: <а>,<аа>,<мама>,<абырвалг>,< >.
    Слово может быть и пустым, т.е. вовсе не содержать символов — по-
следнее слово в примерах. Пустое слово обозначают буквой λ ≡ < >. Дру-
гие, не пустые слова будем обозначать малыми латинскими буквами.
    Произведением, или композицией, слов a и b называется слово
c = a ⊗ b, полученное приписыванием к слову a справа от него слова b.
    Пример композиции: a = <ли>, b = <па>, c = a ⊗ b = <липа>.
    Пустое слово λ не содержит символов, поэтому для любого слова a
имеем: a ⊗ λ = λ ⊗ a = a. Таким образом, пустое слово λ при перемноже-
нии слов ведет себя как единица при перемножении чисел.
    Двойные умножения записываются без скобок: a ⊗ b ⊗ c, т.к. умноже-
ние слов ассоциативно, или сочетательно: (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
    Упр. 7. Проверьте на 2 примерах, что композиция слов ассоциативна.
    2. Самосовмещение. Равенство, или конгруэнтность, фигур в геомет-
рии устанавливается перемещением: если существует перемещение, при
котором одна фигура отображается на другую, то эти фигуры равны. Пе-
ремещение, при котором некоторая фигура отображается на себя, назовем
самосовмещением.

                                    25