Математическая культура. Мациевский С.В. - 49 стр.

    Упр. 1. Каким известным из школы фигурам гомеоморфны:
1) окружность; 2) круг; 3) сфера и 4) шар? Нарисуйте эти фигуры.
                 п. 2. Двусторонние поверхности
    1. Сторона — часть поверхность, по которой может ползать муравей;
при этом он не должен переползать через край поверхности, если он есть.
Другими словами, сторона обладает свойством связности — любые 2 точ-
ки на стороне можно соединить кривой, принадлежащей этой же стороне.
    Край — это кривая, разделяющая стороны поверхности. Поверхность
замкнутая, если она не имеет ни одного края.
    Лента — это поверхность с 1 краем и 2 сторонами.
    Кольцо — это поверхность с 2 краями и 2 сторонами.
    Упр. 2. Вырежьте из бумаги ленту. Склейте из нее кольцо, соединив
противоположные стороны без перекручивания. Проведите линию по сто-
роне кольца на равном расстоянии от краев: на одной стороне — красную,
на другой — синюю. Разрежьте ленту по этой линии, что получилось?
    2. Степень связности, или связность — максимальное число разре-
зов, которые можно провести на поверхности так, чтобы она не распалась
на два отдельных куска, перестав быть связной. Разрез имеет форму кри-
вой. Если поверхность имеет края, то разрез должен идти от края до края
(быть может, другого). Если поверхность замкнутая, то разрез тоже дол-
жен быть замкнутым, т.е. должен иметь форму замкнутой кривой.
    Лента имеет связность 0. Кольцо имеет связность 1. После первого раз-
решенного разреза кольцо превращается в ленту.
    Сферу можно определить как замкнутую двустороннюю поверхность
со связностью 0. Тор — замкнутая двусторонняя поверхность со связно-
стью 2. Тор превращается после первого разреза в кольцо. Крендель с дву-
мя дырками — замкнутая двусторонняя поверхность со связностью 4. На
рисунке выше на торе и кренделе нанесены соответственно 2 и 4 разреза.
           Итак, из квадрата можно склеить кольцо, или поверхность ци-
        линдра, соединив противоположные стороны без перекручивания.
        Этот процесс обозначается так, как показано слева.
    Из квадрата можно склеить сферу, соединив две пары смежных
сторон (правую с нижней, левую с верхней), как показано справа.
           Склеив сначала из квадрата цилиндр (кольцо), а затем, согнув
        цилиндр, соединив его края, получим тор. Схема приведена слева.
           3. Хроматическое число — максимальное число классов, на ко-
торые можно разбить поверхность так, чтобы каждые два класса имели
общую границу. Если каждый класс покрасить в свой цвет, то для любых
двух цветов найдутся соседние области, выкрашенные в эти цвета.
    Хроматические числа квадрата, кольца и сферы равны 4, тора — 7. Ра-
зобьем квадрат (или прямоугольник) на разноцветные классы и каждому

                                   48