Математическая культура. Мациевский С.В. - 51 стр.

                п. 3. Односторонние поверхности
    1. Лист Мёбиуса — кольцо, перекрученное один раз.
    Упр. 3. Склейте лист Мёбиуса, соединив концы ленты, предварительно
перекрутив один конец на 180°. Проведите посередине листа Мёбиуса па-
раллельно краю линию красным карандашом. Затем посередине между
красной линией и краем проведите линию синим карандашом.
    Разрежьте лист Мёбиуса по красной линии. Что получилось? То, что
получилось, разрежьте по синей линии. Что получилось?
    Снова сделайте лист Мёбиуса с красной и синей линиями. Разрежьте
его сразу по синей линии. Что получилось?
    Лист Мёбиуса — пример односторонней поверхности. Лист Мёбиуса
имеет 1 край, связность 1 и хроматическое число 6.
    2. Ориентируемость. Нарисуем на прозрачном листе Мёбиуса линию s
вдоль и посередине листа, начав с какой-то точки Q и закончив через обо-
рот в той же точке Q' с другой стороны модели. Это — свойство односто-
ронней поверхности. Если двигаться по одну сторону от
кривой s (по одному ее «берегу») от точки Q, то вернемся в
ту же точку Q', оказавшись по другую сторону кривой s (на
другом ее «берегу»). Такая кривая s имеет 1 берег (см. рис.).
    На двусторонних поверхностях все кривые двубережные. На односто-
ронних поверхностях можно построить замкнутую однобережную кривую.
Односторонние поверхности и однобережные кривые взаимно обусловли-
вают друг друга. Первое свойство относится к расположению поверхности
в пространстве, второе — к расположению кривой на поверхности.
    Построим вокруг точки Q кривой s малую ориентируемую
окружность, т.е. окружность с направлением обхода (см. рис.).
Будем двигать центр этой окружности по кривой s. Тогда окружность
придет в ту же точку Q' ориентированной в противоположном направле-
нии. Поверхность ориентируема, если при движении вдоль любой ее
замкнутой кривой окружность сохраняет ориентируемость. Двусторонние
поверхности ориентируемы, односторонние — неориентируемы.
    3. Бутылка Клейна — замкнутая односторонняя поверхность. Бутылка
Клейна склеивается из цилиндра, как и тор, но края цилиндра перед склеи-
ванием «смотрят» не друг на друга, а в одну сторону (см. рис.). Ее связ-
ность 2; после 1-го разреза она превращается в кольцо или в лист Мёбиуса.




                                   50