Математическая культура. Мациевский С.В. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

51
п. 4. Проективная плоскость
1. Проективная плоскость. Проективная геометрия — раздел геомет-
рии, изучающий
проективные свойства фигур, свойтсва, не меняющиеся
при проектировании. Это такие свойства, как
коллинеарность точек, т.е.
принадлежность их одной прямой, и порядок алгебраической кривой. Эта
геометрия возникла при научном обосновании перспективы в живописи.
При проектировании одной плоскости на другую точки плоскости мо-
гут уйти в бесконечность. Поэтому
проективная плоскость получается из
обычной эвклидовой дополнением последней
бесконечно удаленными
точками, образующими бесконечно удаленную прямую. Итак, проектив-
ная плоскость — замкнутая односторонняя поверхность, что и отражено в
таблице. При разрезе проективная плоскость превращается в лист Мёбиу-
са.
Проективную плоскость можно склеить из квадрата (см. рис.), как тор и
бутылку Клейна. Сначала деформируем квадрат, превратив его в поверх-
ность шара без четырехугольника
ABCD. Теперь склеим AB с CD и
DA с BC так, чтобы совпали точки
A с C и B с D. Для этого припод-
нимем точки
A и C и опустим точ-
ки
B и D. Получим замкнутую по-
верхность с линией самопересече-
ния в виде отрезка, топологиче-
скую эквивалентную проективной плоскости.
2. Классификация. Рассмотренные выше топологические свойства не
изменяются при гомеоморфизме поверхностей и называются
топологиче-
скими инвариантами. Сведем их в одну таблицу.
Поверхность Изображение
Склеивание
из квадрата
Число
сторон
Число
краев
Связ-
ность
Хроматическое число
и карта раскраски
К
вадрат
2
1
0
4
1 2
3
4
К
ольцо
2
2
1
4
1 2
3
4
Сфера
2
0
0
4
1 2
3
4
Тор
2
0
2
7
4 5 3 4
2 1 2
6 7 6
4 5 3 4
Л
ист
М
ёби
у
са
1
1
1
6
1 2
3 4 5
2 6 1
Бу
тылка
К
лейна
1
0
2
6
1 2 3
4
5 6 
                    п. 4. Проективная плоскость
     1. Проективная плоскость. Проективная геометрия — раздел геомет-
 рии, изучающий проективные свойства фигур, свойтсва, не меняющиеся
 при проектировании. Это такие свойства, как коллинеарность точек, т.е.
 принадлежность их одной прямой, и порядок алгебраической кривой. Эта
 геометрия возникла при научном обосновании перспективы в живописи.
     При проектировании одной плоскости на другую точки плоскости мо-
 гут уйти в бесконечность. Поэтому проективная плоскость получается из
 обычной эвклидовой дополнением последней бесконечно удаленными
 точками, образующими бесконечно удаленную прямую. Итак, проектив-
 ная плоскость — замкнутая односторонняя поверхность, что и отражено в
 таблице. При разрезе проективная плоскость превращается в лист Мёбиу-
 са.
     Проективную плоскость можно склеить из квадрата (см. рис.), как тор и
 бутылку Клейна. Сначала деформируем квадрат, превратив его в поверх-
 ность шара без четырехугольника
 ABCD. Теперь склеим AB с CD и
 DA с BC так, чтобы совпали точки
 A с C и B с D. Для этого припод-
 нимем точки A и C и опустим точ-
 ки B и D. Получим замкнутую по-
 верхность с линией самопересече-
 ния в виде отрезка, топологиче-
 скую эквивалентную проективной плоскости.
     2. Классификация. Рассмотренные выше топологические свойства не
 изменяются при гомеоморфизме поверхностей и называются топологиче-
 скими инвариантами. Сведем их в одну таблицу.
 Поверхность Изображение Склеивание  Число Число
                         из квадрата сторон краев
                                                    Связ- Хроматическое число
                                                    ность  и карта раскраски
                                                                    1 2
Квадрат                                  2    1       0     4         3
                                                                    4
                                                                 1               2
Кольцо                                   2    2      1      4            3
                                                                 4
                                                                         1       2
Сфера                                    2    0      0      4                3
                                                                         4
                                                                4 5          3     4
                                                                2                 1 2
Тор                                      2    0      2      7   6 7                 6
                                                                  4          5   3 4
Лист                                                                 1           2
                                         1    1      1      6       3        4       5
Мёбиуса                                                         2            6       1
Бутылка                                                          1           2       3
                                         1    0      2      6                4
Клейна                                                              5            6


                                    51

Страницы