Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

106 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
3.6.12. а) lim
x→0
3
sin 4x
− 1
tg 5x
; б) lim
x→2
2
x
− 4
√
2x − 2
; в) lim
x→1
e
5x−5
− 1
√
5x − 1 − 2
.
Ответы: а) (4/5) ln 3; б) 8 ln 2; в) 4.
3.6.13. а) lim
x→0
e
5x
− e
x
e
sin 2x
− 1
; б) lim
x→2
ln(x
2
− 3x + 3)
e
x
− e
2
.
Ответы: а) 2; б) e
−2
.
3.7. Сравнение бесконечно малых и бесконечно
больших функций (задача 5)
Рекомендуется изучить п. 1.8.
3.7.1. Найдите порядок малости и главную часть бесконечно ма-
лой α(x) = sin 2x −2 sin x относительно β(x) = x.
Решение. Согласно определени ю порядка малости нужно най-
ти такое значение r, чтобы предел lim
x→0
sin 2x −2 sin x
x
r
был конеч-
ным и отличным от нуля. Преобразуем числитель: sin 2x −2 sin x =
= 2 sin x cos x − 2 sin x = 2 sin x(cos x − 1) = −4 sin x sin
2
x
2
. Поэтому
lim
x→0
sin 2x −2 sin x
x
r
= lim
x→0
−4 sin x · sin
2
x
2
x
r
=
= lim
x→0
−4 sin x
x
sin
2
x
2
x
2
2
2
· 4 · x
r−3
= lim
x→0
−1
x
r−3
.
Видим, что предел будет конечн ым только при r = 3, так как
lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→0
sin
2
x
2
x
2
/4
= 1. При r = 3 имеем
lim
x→0
sin 2x −2 sin x
x
3
= −1.
Вывод: порядок малости величины α(x) = sin 2x − 2 sin x относи-
тельно β(x) = x равен трем, а её главная часть равна γ(x) = −x
3
при
x → 0.
3.7.2. Докажите, что бесконечно малая α(x) = 3 sin
4
x −x
5
имеет
порядок малости относительно β(x) = x, равный 4, а ее главная
часть равна γ(x) = 3x
4
.
Решение. Имеем lim
x→0
3 sin
4
x − x
5
3x
4
= lim
x→0
sin
4
x
x
4
−
x
3
= 1.
Отсюда и следует справедливость утверждения задачи.

Страницы