Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.7. Сравнение бесконечно малых 107
При x → ∞, −∞, +∞ в качестве эталонной бесконечно малой
обычно берут β(x) =
1
x
.
3.7.3. Докажите, что функция α(x) =
√
x
4
+ 1 −x
2
является бес-
конечно малой при x → ∞, найдите ее порядок малости относитель-
но β(x) = 1/x и главную часть.
Решение. Находим
lim
x→∞
√
x
4
+ 1 − x
2
= lim
x→∞
√
x
4
+ 1 − x
2
√
x
4
+ 1 + x
2
√
x
4
+ 1 + x
2
=
= lim
x→∞
1
√
x
4
+ 1 + x
2
= 0, то есть α(x) — бесконечно малая при
x → ∞. Для определения ее порядка малости относительно β(x)
нужно найти значение r, при котором lim
x→∞
√
x
4
+ 1 − x
2
1/x
r
конечен и
отличен от нуля. После несложных преобразований, только что про-
деланных, находим
lim
x→∞
√
x
4
+ 1 − x
2
1/x
r
= lim
x→∞
x
r
√
x
4
+ 1 + x
2
=
= lim
x→∞
x
r
x
2
p
1 + 1/x
4
+ 1
= lim
x→∞
x
r−2
p
1 + 1/x
4
+ 1
.
Видим, что предел конечен и не равен нулю только при r = 2, т.е.
порядок малости равен 2. При r = 2 этот предел равен C = 1/2.
Поэтому главная часть γ(x) =
1
2x
2
.
Понятие эквивалентности бесконечно малых наход ит широкое
применение как в приближенных вычислениях, так и в теоретич е-
ских вопросах. Использование этого понятия значительно упрощает
отыскание некоторых пределов.
Рекомендуем особенно хорошо изучить п. 1.8.3.
При отыскании пределов, содержащих неопределённость 0/0, ис-
пользуется свойство эквивалентных бесконечно малых
lim
x→x
0
α(x)
β(x)
= lim
x→x
0
α
1
(x)
β
1
(x)
,
где α(x) ∼ α
1
(x), β(x) ∼ β
1
(x), т.е. предел отношения бесконеч-
но малых равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно
малых.
3.7.4. Пользуясь методом замены бесконечно малых эквивалент-
ными, найдите следующие пределы:
а) lim
x→0
sin 8x
ln(1 + 2x)
; б) lim
x→1
e
4(x−1)
− 1
ln[1 + tg 2(x − 1)]
;

Страницы