Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.6. Следствия второго замечательного предела 105
Решение: а) обозначим f(x) = cos x. Так как lim
x→0
f(x) =
= lim
x→0
cos x = 1, то можем применить формулу (7). Получаем
lim
x→0
cos
µ
x − 1
x
2
= µ lim
x→0
cos x − 1
x
2
= µ lim
x→0
−2 sin
2
x
2
x
2
= −
µ
2
;
б) lim
x→0
√
1 + x −
3
√
1 + x
x
=
= lim
x→0
√
1 + x − 1
x
− lim
x→0
3
√
1 + x − 1
x
=
1
2
−
1
3
=
1
6
(так как lim
x→0
(1 + x)
µ
− 1
x
= µ).
3.6.8. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→2
e
x
− e
2
ln(x
2
− 5x + 7)
; б) lim
x→0
ln cos ax
ln cos bx
.
Решение. а) lim
x→2
e
x
− e
2
ln(x
2
− 5x + 7)
=
= lim
x→2
e
2
(e
x−2
− 1)
ln[1 + (x
2
− 5x + 6)]
= e
2
lim
x→2
(x − 2)
(x − 2)(x − 3)
= −e
2
;
б) lim
x→0
ln cos ax
ln cos bx
= lim
x→0
cos ax − 1
cos bx − 1
= lim
x→0
−2 sin
2
ax
2
−2 sin
2
bx
2
=
a
2
b
2
.
Задачи для самостоятельного решения
3.6.9 — 3.6.13. Найдите следующие пределы.
3.6.9. а) lim
x→0
log
3
(1 + 4x)
x
; б) lim
x→0
2
5x
− 1
x
; в) lim
x→0
5
√
1 + 3x − 1
x
.
Ответы: а) 4 log
3
e; б) 5 ln 2; в) 3/5.
3.6.10. а) lim
x→0
ln(1 + 2 sin
2
x)
sin
2
x
; б) lim
x→0
5
2 tg
3
x
− 1
tg
3
x
;
в) lim
x→0
3
√
1 + 2x
4
− 1
x
4
.
Ответы: а) 2; б) 2 ln 5; в) 2/3.
3.6.11. а) lim
x→3
x + 5
x − 3
ln
4x − 1
2x + 5
; б) lim
x→∞
(4x
3
+ 1) ln
x
4
− 2x + 2
x
4
+ x
;
в) lim
x→0
1
x
ln
5x + 1
x + 1
.
Ответы: а) 16/11; б) −12; в) 4.

Страницы