Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.6. Следствия второго замечательного предела 103
В задачах 3.6.2 и 3.6.3 случаи x → ∞, −∞, +∞ не исключаются.
Заметим, что если lim
x→x
0
ϕ(x) = A, A 6= 0, то в пределах задач 3.6.2 и
3.6.3 неопределённости нет и соответствующие пределы будут рав-
няться нулю. Если lim
x→x
0
ϕ(x) не существует, но функция ψ(x) =
1
ϕ(x)
ограничена в окрестности x
0
, то соответствующие пределы также
будут равны нулю по теореме о произведении бесконечно малой на
ограниченную функцию.
Как видим, пределы (6), (7), (8) и (9) содержат неопределённость
типа 0/0, только если lim
x→x
0
ϕ(x) = 0.
При решении примеров с использованием следствий из второ-
го замечательного предела можно либо использовать задачи 3.6.1—
3.6.3, либо проделывать преобразования в каждом отдельном случае,
подобно тому, как это сделано в задачах 3.6.1—3.6.3 в общем случае.
3.6.4. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→0
log
a
(1 + tg
3
x)
tg
3
x
; б) lim
x→0
3
sin
2
x
− 1
sin
2
x
;
в) lim
x→0
3
p
1 + sin
3
x − 1
sin
3
x
.
Решение: а) все предложенные пределы являются частным слу-
чаем пределов, рассмотренных в задаче 3.6.1. Можно положить
α(x) = tg
3
x, так как lim
x→0
tg
3
x = 0, поэтому
lim
x→0
log
a
(1 + tg
3
x)
tg
3
x
= log
a
e;
б) в этом случае α(x) = sin
2
x, так как sin
2
x → 0 при x → 0.
Поэтому lim
x→0
3
sin
2
x
− 1
sin
2
x
= ln 3 (см. 3);
в) на основании предела (5) получаем
lim
x→0
3
p
1 + sin
3
x − 1
sin
3
x
=
1
3
(здесь α(x) = sin
3
x, и sin
3
x → 0 при x → 0).
3.6.5. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→0
1
x
ln
1 + 5x
1 + 4x
; б) lim
x→1
ln(x
2
+ 4x − 4)
x − 1
;
в) lim
x→∞
x · ln
1 + tg
5
x
.

Страницы