Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

102 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
Доказательство. Сделаем замену в (1) α(x) = t. Если
x → x
0
, то t → 0. Получаем lim
x→x
0
log
a
[1 + α(x)]
α(x)
= lim
t→0
log
a
(1 + t)
t
=
= log
a
e по первому следствию из второго замечательного предела.
Аналогично доказываются соотношения (2)—(5).
Формулы (1)—(5) сохраняются и при x → ±∞, ∞.
3.6.2. Докажите, что если lim
x→x
0
f(x) = 1 и существует
lim
x→x
0
f(x) − 1
ϕ(x)
, то:
а) lim
x→x
0
log
a
f(x)
ϕ(x)
= log
a
e · lim
x→x
0
f(x) − 1
ϕ(x)
; (6)
б) lim
x→x
0
[f(x)]
µ
− 1
ϕ(x)
= µ · lim
x→x
0
f(x) − 1
ϕ(x)
. (7)
Доказательство. Так как lim
x→x
0
f(x) = 1, то lim
x→x
0
α(x) =
= lim
x→x
0
[f(x) − 1] = 0. Можем записать f(x) = 1 + α(x). Теперь
lim
x→x
0
log
a
f(x)
ϕ(x)
= lim
x→x
0
log
a
[1 + α(x)]
α(x)
·
α(x)
ϕ(x)
=
= lim
x→x
0
log
a
[1 + α(x)]
α(x)
· lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
= log
a
e · lim
x→x
0
f(x) − 1
ϕ(x)
.
Использовали формулу (1) и теорему о пределе произведения.
Утверждение (7) доказывается аналогично.
Если окажется, что предел lim
x→x
0
f(x) − 1
ϕ(x)
не существует, то пре-
делы (6) и (7) также не существуют.
3.6.3. Докажите, что если lim
x→x
0
α(x) = 0 и существует
lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
, то
lim
x→x
0
a
α(x)
− 1
ϕ(x)
= ln a · lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
; (8)
lim
x→x
0
e
α(x)
− 1
ϕ(x)
= lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
. (9)
Доказательство. lim
x→x
0
a
α(x)
− 1
ϕ(x)
= lim
x→x
0
a
α(x)
− 1
α(x)
·
α(x)
ϕ(x)
=
= lim
x→x
0
a
α(x)
− 1
α(x)
· lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
= ln a · lim
x→x
0
α(x)
ϕ(x)
.
При этом мы использовали ф ормулу (3) и теорему о пределе про-
изведения. Соотношение (8) доказано. Равенство (9) следует из (8)
при a = e.

Страницы