Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

100 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
Задачи для самостоятельного решения
3.5.6 — 3.5.8. Найдите следующие пределы.
3.5.6. а) lim
x→∞
1 +
x
2
x
4
+ 1
2x
2
+3
; б) lim
x→2
1 +
x
2
− 4
x + 3
1
sin(x−2)
;
в) lim
x→0
1 + sin
2
4x
1
x
; г) lim
x→0
(1 + tg x)
x−1
x
3
;
д) lim
x→3+0
1 +
x − 3
x
2
+ 1
1
sin
2
(x−3)
.
Ответы: а) e
2
; б) e
4/5
; в) 1; г) 0; д) +∞.
3.5.7. а) lim
x→∞
5x
2
+ 3
5x
2
− 2x + 1
4x+3
; б) lim
x→π
tg
x
4
2
x−π
указание: использовать формулу tg α − tg β =
sin(α − β)
cos α ·cos β
;
в) lim
x→1
3x + 1
x + 3
4
x−1
; г) lim
x→2
8x − 14
3x − 4
24
x
3
−8
;
д) lim
x→∞
x
2
+ 4
x
2
+ 1
2x
; е) lim
x→∞
x
2
+ 6
x
2
+ 4
x
4
;
ж) lim
x→−∞
x
2
+ 1
x
2
− 6
x
3
.
Ответы: а) e
8/5
; б) e; в) e
2
; г) e
5
; д) 1; е) ∞; ж) 0.
3.5.8. а) lim
x→+∞
x + 5
5x + 4
x
; б) lim
x→−∞
4x + 1
3x + 2
x
3
;
в) lim
x→+∞
4x + 3
2x + 1
x
; г) lim
x→−∞
8x
2
+ 3x + 1
16x
2
+ 7
x
.
Ответы: а) 0; б) 0; в) +∞; г) +∞.
Используя число e, вводят ряд новых функций: e
x
, называемую
экспонентой, ch x =
e
x
+ e
−x
2
— гиперболический косинус, sh x =
=
e
x
− e
−x
2
— гиперболический синус, th x =
sh x
ch x
=
e
x
− e
−x
e
x
+ e
−x
— ги-
перболический тангенс, cth x =
ch x
sh x
=
e
x
+ e
−x
e
x
− e
−x
— гиперболический
котангенс. Функции sh x, ch x, th x, cth x называют гиперболически-
ми. Находят применение и функции, обратные гиперболическим:
arsh x, arch x, arth x, arcth x.

Страницы