Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.6. Следствия второго замечательного предела 101
3.5.9. Докажите, что:
а) ch
2
x − sh
2
x = 1; б) ch(−x) = ch x;
в) sh(−x) = −sh x; г) sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y;
д) ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y;
е) sh x + sh y = 2 sh
x + y
2
ch
x − y
2
;
ж) sh x − sh y = 2 sh
x − y
2
ch
x + y
2
;
з) ch x + ch y = 2 ch
x + y
2
ch
x − y
2
;
и) ch x − ch y = 2 sh
x + y
2
sh
x − y
2
.
Как видим, гиперболические функции по свойствам очень на-
поминают тригонометрические функции. Гиперболические функции
применяются во многих задачах, в частности при построении неев-
клидовых геометрий.
3.6. Следствия второго замечательного предела
(задачи 4, д, е)
Рекомендуется изучить п. 1.7.2, в котором доказано, что:
1) lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= log
a
e, lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1;
2) lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a, lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1;
3) lim
x→0
(1 + x)
µ
− 1
x
= µ.
Во всех этих пределах имеется неопределённость типа 0/0.
3.6.1. Докажите, что если lim
x→x
0
α(x) = 0, то:
а) lim
x→x
0
log
a
[1 + α(x)]
α(x)
= log
a
e; (1)
б) lim
x→x
0
ln[1 + α(x)]
α(x)
= 1; (2)
в) lim
x→x
0
a
α(x)
− 1
α(x)
= ln a; (3)
г) lim
x→x
0
e
α(x)
− 1
α(x)
= 1; (4)
д) lim
x→x
0
[1 + α(x)]
µ
− 1
α(x)
= µ. (5)

Страницы