Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.5. Второй замечательный предел (задача 4, г) 99
3.5.4. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→∞
x + 2
x + 3
x+4
; б) lim
x→5
x − 3
4x − 18
2
5−x
.
Решение: а) так как lim
x→∞
x + 2
x + 3
= 1, то имеем право применить
формулу (3), положив в ней f(x) =
x + 2
x + 3
, ϕ(x) = x + 4. Получаем
lim
x→∞
x + 2
x + 3
x+4
= (1
∞
) = e
lim
x→∞
(
x+2
x+3
−1
)
·(x+4)
= e
lim
x→∞
−(x+4)
x+3
=
= e
−1
= 1/e;
б) поскольку lim
x→5
x − 3
4x − 18
= 1, то также применима формула (3).
Находим lim
x→5
x − 3
4x − 18
2
5−x
= (1
∞
) = e
lim
x→5
(
x−3
4x−18
−1
)
·
2
5−x
=
= e
lim
x→5
(15−3x)·2
(5−x)(4x−18)
= e
3
.
3.5.5. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→1
(x
2
+ 2)
x
3
+1
; б) lim
x→−∞
2x + 3
x + 1
x−2
;
в) lim
x→−∞
4x + 1
8x + 5
x
3
; г) lim
x→+∞
4x
2
+ 1
5x
2
+ 2
x
2
+1
x
.
Решение: а) так как lim
x→1
(x
2
+ 2) = 3, lim
x→1
(x
3
+ 1) = 2 и функции
f(x) = x
2
+ 2 и ϕ(x) = x
3
+ 1 непрерывны в точке x = 1, то
lim
x→1
(x
2
+ 2)
x
3
+1
= 3
2
= 9 (см. (4));
б) находим lim
x→−∞
2x + 3
x + 1
= 2, lim
x→−∞
(x − 2) = −∞, следова-
тельно, lim
x→−∞
2x + 3
x + 1
x−2
= 0;
в) lim
x→−∞
4x + 1
8x + 5
=
1
2
, lim
x→−∞
x
3
= −∞, поэтому
lim
x→−∞
4x + 1
8x + 5
x
3
= +∞ (см. (6));
г) lim
x→+∞
4x
2
+ 1
5x
2
+ 2
=
4
5
, lim
x→+∞
x
2
+ 1
x
= +∞, поэтому
lim
x→+∞
4x
2
+ 1
5x
2
+ 2
x
2
+1
x
= 0 (см. (5)).

Страницы