Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

98 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
б) если либо lim
x→x
0
f(x) = q < 1, lim
x→x
0
ϕ(x) = +∞, либо lim
x→x
0
f(x) =
= q > 1, но lim
x→x
0
ϕ(x) = −∞, то
lim
x→x
0
f(x)
ϕ(x)
= 0; (5)
в) если либо lim
x→x
0
f(x) = q < 1, lim
x→x
0
ϕ(x) = −∞, либо lim
x→x
0
f(x) =
= q > 1, но lim
x→x
0
ϕ(x) = +∞, то
lim
x→x
0
f(x)
ϕ(x)
= ∞. (6)
Справедливость соотношения (4) следует из непрерывности
степенно-показательной функции. Доказательство формул (5) и (6)
опустим. (Интуитивно они очевидны.) Формулы (1) — (3) и (4) —
(6) справедливы и при x → ∞, −∞, +∞. Предел lim
x→x
0
f(x)
ϕ(x)
может
привести также к неопределенностям 0
0
, ∞
0
, которые мы рассмот-
рим позднее.
3.5.3. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→0
1 +
x
2
+ 3x
x + 1
2
x
; б) lim
x→∞
1 +
1
2x + 1
x
;
в) lim
x→∞
1 +
1
x
2
+ 1
x+1
; г) lim
x→−∞
1 +
1
x + 1
x
2
+1
.
Решение: а) так как lim
x→0
x
2
+ 3x
x + 1
= 0, то можем положить в
соответствии с (2) α(x) =
x
2
+ 3x
x + 1
, ϕ(x) =
2
x
. Получаем
lim
x→0
1 +
x
2
+ 3x
x + 1
2
x
= e
lim
x→0
x
2
+3x
x+1
·
2
x
= e
lim
x→0
2(x+3)
x+1
= e
6
;
б) полагаем в (2) α(x) =
1
2x + 1
, что возможно, так как
lim
x→∞
α(x) = 0. Получаем lim
x→∞
1 +
1
2x + 1
x
= e
lim
x→∞
1
2x+1
·x
= e
1
2
;
в) lim
x→∞
1 +
1
x
2
+ 1
x+1
= e
lim
x→∞
x+1
x
2
+1
= e
0
= 1;
г) lim
x→−∞
1 +
1
x + 1
x
2
+1
= e
lim
x→−∞
x
2
+1
x+1
= 0, так как
lim
x→−∞
x
2
+ 1
x + 1
= lim
x→−∞
x + 1/x
1 + 1/x
= −∞.
Все четыре рассмотренных предела содержат неопределённость
1
∞
. Раскрывая эту неопределённость, можно получить самые раз-
нообразные ответы, включая 0, 1 и ∞.

Страницы