Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

96 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
в) lim
x→π/ 6
sin
x −
π
6
√
3
2
− cos x
= lim
x→π/ 6
sin
x −
π
6
cos
π
6
− cos x
=
= lim
x→π/ 6
sin
x −
π
6
2 sin
x + π/6
2
sin
x − π/6
2
=
= lim
y →0
sin y
2 sin
y + π/3
2
sin
y
2
= lim
y →0
y
2 sin
y
2
+
π
6
sin
y
2
= 2
(замена: y = x −
π
6
, cos α − cos β = 2 sin
α + β
2
sin
β − α
2
).
Задачи для самостоятельного решения
3.4.3 — 3.4.6. Найдите следующие пределы.
3.4.3. а) lim
x→0
sin 4x
x
; б) lim
x→0
sin 5x
tg 3x
; в) lim
x→0
arctg 2x
x
;
г) lim
x→0
arcsin 5x
x
; д) lim
x→0
arcsin 4x
arctg 3x
; е) lim
x→0
sin 5x − sin 3x
sin x
.
Ответы: а) 4; б) 5/3; в) 2; г) 5; д) 4/3; е) 2.
3.4.4. а) lim
x→0
1 − cos
3
x
x sin 2x
; б) lim
x→0
1 + 2 sin x − cos x
1 + 3 sin x − cos x
;
в) lim
x→0
tg x − sin x
x
3
; г) lim
x→0
cos 4x − cos 3x
x
2
;
д) lim
x→0
√
1 − cos x
2
1 − cos x
; е) lim
x→0
√
cos x −
3
√
cos x
sin
2
x
.
Ответы: а) 3/4; б) 2/3; в) 1/2; г) −7/2; д)
√
2; е) −1/12.
3.4.5. а) lim
x→a
sin x − sin a
x − a
; б) lim
x→π/ 3
sin(x − π/3)
1 − 2 cos x
;
в) lim
x→π/ 3
tg
3
x − 3 tg x
cos(x + π/6)
; г) lim
x→π/ 2
(π/2 − x)tg x.
Ответы: а) cos a; б) 1/
√
3; в) −24; г) 1.
3.4.6. а) lim
x→0
√
2 −
√
1 + cos x
sin
2
x
; б) lim
x→0
√
1 + sin x −
√
1 − sin x
tg x
;
в) lim
x→0
1 − (cos x) ·
√
cos 2x
x
2
; г) lim
x→0
sin(a + 2x) − 2 sin(a + x) + sin a
x
2
.
Ответы: а)
√
2/8; б) 1; в) 3/2; г) −sin a.

Страницы