Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.4. Первый замечательный предел (задача 4, в) 95
Находим lim
x→0
arcsin x
x
= lim
y →0
y
sin y
= lim
y →0
1
(sin y)/y
= 1. Аналогично
доказывается, что lim
x→0
arctg x
x
= 1 (замена arctg x = y).
3.4.1. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→0
sin 5x
x
; б) lim
x→0
sin 3x
tg 5x
; в) lim
x→0
arcsin 3x
arctg 4x
;
г) lim
x→0
1 − cos 2x
x
2
; д) lim
x→2
sin x
x
.
Решение. а) lim
x→0
sin 5x
x
= lim
x→0
5 sin 5x
5x
= lim
u→0
5 sin u
u
= 5, (u = 5x);
б) lim
x→0
sin 3x
tg 5x
= lim
x→0
sin 3x
3x
· 3
tg 5x
5x
· 5
=
3
5
;
в) lim
x→0
arcsin 3x
arctg 4x
= lim
x→0
arcsin 3x
3x
· 3
arctg 4x
4x
· 4
=
3
4
;
г) lim
x→0
1 − cos 2x
x
2
= lim
x→0
2 sin
2
x
x
2
= 2 lim
x→0
sin x
x
·
sin x
x
= 2;
д) lim
x→2
sin x
x
=
sin 2
2
.
3.4.2. Найдите следующие пределы, сделав подходящую замену:
а) lim
x→π
sin 3x
sin 2x
; б) lim
x→π/ 4
cos x − sin x
cos 2x
; в) lim
x→π/ 6
sin (x − π/6)
√
3/2 − cos x
.
Решение: а) поскольку непосредственное применение первого за-
мечательного предела невозможно, так как аргумент синуса не стре-
мится к нулю, то сделаем замену x = y + π. Когда x → π, то y → 0.
Теперь
lim
x→π
sin 3x
sin 2x
= lim
y →0
sin(3y + 3π)
sin(2y + 2π)
= lim
y →0
−sin 3y
sin 2y
= −
3
2
;
б) используем формулу тригонометрии cos x −sin x =
=
√
2 sin
π
4
− x
, затем делаем замену y =
π
4
− x, x =
π
4
− y.
Имеем lim
x→π/ 4
cos x − sin x
cos 2x
= lim
x→π/ 4
√
2 sin
π
4
− x
cos 2x
=
= lim
y →0
√
2 sin y
cos
π
2
− 2y
= lim
y →0
√
2 sin y
sin 2y
=
√
2
2
;

Страницы