Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

94 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
3.3.19. Найдите пределы:
а) lim
x→−∞
x
3
+
√
16x
6
+ 5
x
3
; б) lim
x→+∞
x
3
+
√
16x
6
+ 5
x
3
.
Ответы: а) −3; б) 5.
3.3.20. Найдите пределы:
а) lim
x→2
√
2 + x − 2
x − 2
; б) lim
x→+0
√
9 + 5x + 4x
2
− 3
x
;
в) lim
x→2
3
√
10 − x − 2
x − 2
; г) lim
x→1
3
√
2x − 1 −
3
√
3x − 2
√
4x − 3 − 1
.
Ответы: а) 1/4; б) 5/6; в) −1/12; г) −1/6.
3.3.21. Найдите пределы:
а) lim
x→+∞
x(
√
x
2
+ 1 − x); б) lim
x→±∞
(
√
x
2
+ x + 1 −
√
x
2
− x + 1);
в) lim
x→+∞
(
3
√
x
3
+ 3x
2
−
√
x
2
− 2x).
Указание. Прибавить и вычесть x.
Ответы: а) 1/2; б) ±1; в) 2.
3.3.22. Найдите пределы:
а) lim
x→3+0
2
1
x−3
; б) lim
x→3−0
2
1
x−3
; в) lim
x→2+0
3
1
x−2
+ 1
4
1
x−2
+ 2
.
Ответы: а) +∞; б) 0; в) 0.
3.4. Первый замечательный предел (задача 4, в)
Предлагается изучить п. 1.7.1.
Обратите внимание на то, что в первом замечательном пределе
lim
x→0
sin x
x
= 1 раскрывается неопределенность 0/0, причем аргумент
синуса стремится к нулю, и в знаменателе находится точно этот ар-
гумент. Не посредственным следствием первого замечательного пре-
дела являются следующие пределы: lim
x→0
tg x
x
= 1, lim
x→0
arcsin x
x
= 1,
lim
x→0
arctg x
x
= 1. Действительно,
lim
x→0
tg x
x
= lim
x→0
cos x ·
sin x
x
= lim
x→0
cos x · lim
x→0
sin x
x
= 1
(мы использовали теорему о пределе произведения и непрерывность
функции cos x, из которой следует, что lim
x→0
cos x = cos lim
x→0
x = 1).
Для отыскания второго предела сделаем замену arcsin x = y,
x = sin y. Если x → 0, то y → 0, что следует из непрерывности функ-
ции arcsin x.

Страницы