Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

92 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
3.3.11. Найдите lim
x→1
3
√
2x − 1 −
3
√
3x − 2
x − 1
.
Решение. Применим формулу (a
3
− b
3
) = (a − b)(a
2
+ ab + b
2
).
Полагая a =
3
√
2x − 1, b =
3
√
3x − 2, умножим числитель и знамена-
тель на неполный квадрат суммы чисел a и b. Получим
lim
x→1
2x − 1 − 3x + 2
(x − 1)
3
p
(2x − 1)
2
+
3
p
(2x − 1)(3x − 2) +
3
p
(3x − 2)
2
=
= lim
x→1
−(x − 1)
(x − 1)
3
p
(2x − 1)
2
+
3
p
(2x − 1)(3x − 2) +
3
p
(3x − 2)
2
=
= lim
x→1
−1
3
p
(2x − 1)
2
+
3
p
(2x − 1)(3x − 2) +
3
p
(3x − 2)
2
= −
1
3
.
(Применили теоремы о пределе частного, суммы и произведения, а
также непрерывность функций u
2
и
3
√
u.)
3.3.12. Найдите lim
x→0+0
3
1/x
, lim
x→0−0
3
1/x
.
Решение. Сделаем замену t = 1/x. Если x → 0 + 0, то t → +∞,
если x → 0 − 0, то t → −∞ (см. пример 5, в, г, п. 1.5). По свойству
показательной функции y = a
x
при a > 1 получаем
lim
x→0+0
3
1/x
= lim
t→+∞
3
t
= +∞,
lim
x→0−0
3
1/x
= lim
t→−∞
3
t
= lim
t→+∞
1
3
t
= 0.
Как видим, предел lim
x→0
3
1/x
не существует.
3.3.13. Найдите lim
x→0
5
1/x
− 1
7
1/x
− 1
.
Решение. Найдём правый и левый пределы: lim
x→0+0
5
1/x
− 1
7
1/x
− 1
,
lim
x→0−0
5
1/x
− 1
7
1/x
− 1
. Сделаем замену t =
1
x
. Тогда
lim
x→0+0
5
1/x
− 1
7
1/x
− 1
= lim
t→+∞
5
t
− 1
7
t
− 1
= lim
t→+∞
(5/7)
t
− 1/7
t
1 − 1/7
t
= 0.
Мы воспользовались свойством показательной функции y = a
x
: при
a < 1 справедливо lim
x→+∞
a
x
= 0, при a > 1 — lim
x→+∞
a
x
= +∞, а также
теоремой о пределе частного.
Аналогично получаем lim
x→0−0
5
1/x
− 1
7
1/x
− 1
= lim
t→−∞
5
t
− 1
7
t
− 1
= 1.

Страницы