Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.3. Предел функции (задачи 4, а, б) 91
т.е. символы f и lim
x→x
0
для непрерывных функций перестановоч-
ны. Этим свойством мы будем широко пользоваться при отыска-
нии пределов, например, lim
x→3
√
x
4
+ 3x + 10 =
q
lim
x→3
(x
4
+ 3x + 10) =
=
√
81 + 9 + 10 = 10. Использованы непрерывность функции y =
√
u
и теорема о пределе суммы.
3.3.8. Найдите lim
x→−∞
x +
√
9x
2
+ 1
x
.
Решение. lim
x→−∞
x +
√
9x
2
+ 1
x
= lim
x→−∞
1 +
√
9x
2
+ 1
x
!
=
= lim
x→−∞
1 −
r
9x
2
+ 1
x
2
!
= lim
x→−∞
1 −
r
9 +
1
x
2
!
=
= 1 −
s
lim
x→−∞
9 +
1
x
2
= 1 − 3 = −2.
Напомним, что a
√
b =
√
a
2
b, если a > 0;
−
√
a
2
b, если a < 0.
По этой причине
√
9x
2
+ 1
x
= −
r
9x
2
+ 1
x
2
, поскольку x → −∞, а потому x < 0.
3.3.9. Докажите самостоятельно: lim
x→+∞
x +
√
9x
2
+ 1
x
= 4.
Из задач 3.3.8 и 3.3.9 следует, что lim
x→∞
x +
√
9x
2
+ 1
x
не существует.
3.3.10. Найдите A = lim
x→1
√
x + 8 −
√
8x + 1
√
5 − x −
√
7x − 3
.
Решение. Замечаем, что числитель и знаменатель при x → 1 стре-
мятся к нулю, т.е. имеем неопределённость типа 0/0. Умножим чис-
литель и знаменатель на множители, сопряжённые соответствую-
щим выражениям:
A = lim
x→1
(
√
x + 8 −
√
8x + 1)(
√
x + 8 +
√
8x + 1)(
√
5 − x +
√
7x − 3)
(
√
5 − x −
√
7x − 3)(
√
5 − x +
√
7x − 3)(
√
x + 8 +
√
8x + 1)
=
= lim
x→1
(x + 8 − 8x − 1)(
√
5 − x +
√
7x − 3)
(5 − x − 7x + 3)(
√
x + 8 +
√
8x + 1)
=
= lim
x→1
7(1 − x)
8(1 − x)
·
√
5 − x +
√
7x − 3
√
x + 8 +
√
8x + 1
=
7
8
·
2 + 2
3 + 3
=
7
12
.
Мы воспользовались непрерывностью функции
√
x и теоремой о пре-
деле частного и суммы.

Страницы