Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.3. Предел функции (задачи 4, а, б) 89
Решение: а) можем записать: lim
x→x
0
x
n
= lim
x→x
0
(x · x · ··· · x). Так
как lim
x→x
0
x = x
0
, то по теореме о пределе произведения
lim
x→x
0
x
n
= lim
x→x
0
x · lim
x→x
0
x · ··· · lim
x→x
0
x = x
n
0
;
б) функция P
n
(x) представляет собой сумму (1 + n) слага-
емых, каждое из которых имеет конечный предел, например,
lim
n→∞
a
0
x
n
= lim
x→x
0
a
0
lim
x→x
0
x
n
= a
0
x
n
0
. Поэтому б) следует из теоремы
о пределе суммы;
в) следует из теоремы о пределе частного, суммы и произведения.
Функцию P
n
(x) в задаче 3.3.1 называют многочленом или поли-
номом порядка n (если a
0
6= 0).
3.3.2. Вычислите следующие пределы:
а) lim
x→2
(x
2
+ 3x + 4); б) lim
x→3
x
2
+ 2x − 3
2x
2
+ 4x − 5
.
Решение. На основе доказанного в задаче 3.3.1, б можем записать:
lim
x→2
(x
2
+ 3x + 4) = 2
2
+ 3 · 2 + 4 = 14;
lim
x→3
x
2
+ 2x − 3
2x
2
+ 4x − 5
=
3
2
+ 2 · 3 − 3
2 · 3
2
+ 4 · 3 − 5
=
12
25
.
3.3.3. Найдите A = lim
x→1
5x
2
− 20x + 15
3x
2
− 15x + 12
.
Решение. В данном случае применить теорему о пределе частно-
го невозможно, так как знаменатель обращается при x
0
= 1 в нуль.
Заметим, что и числитель при x
0
= 1 также обращается в нуль. По-
лучаем неопределённое выражение типа 0/0. Мы уже подчёркивали,
что в определении предела при x → x
0
величина x значение x
0
ни-
когда не принимает. В нашем примере x 6= 1, а потому x − 1 6= 0.
Разлагая на множители числитель и знаменатель, п олучаем
A = lim
x→1
5x
2
− 20x + 15
3x
2
− 15x + 12
= lim
x→1
5(x − 1)(x − 3)
3(x − 1)(x − 4)
.
Поделим числитель и знаменатель на величину x − 1, отличную от
нуля. Получим A = lim
x→1
5(x − 3)
3(x − 4)
=
5(1 − 3)
3(1 − 4)
=
10
9
.
3.3.4. Найдите A = lim
x→−3
x
3
+ 5x
2
+ 3x − 9
x
3
− 3x
2
− 45x − 81
.
Решение. Убеждаемся, что числитель и знаменатель в точке
x
0
= −3 обращаются в нуль. По теореме Безу многочлены в чис-
лителе и знаменателе делятся на (x + 3). Выполняя это деление, по-
лучаем A = lim
x→−3
(x + 3)(x
2
+ 2x − 3)
(x + 3)(x
2
− 6x − 27)
= lim
x→−3
(x
2
+ 2x − 3)
(x
2
− 6x − 27)

Страницы