Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.2. Предел последовательности (задачи 3, а, б) 87
б) lim
n→∞
(
3
√
n
3
+ 1 −
3
√
n
3
+ 4) =
= lim
n→∞
3
√
n
3
+ 1
3
−
3
√
n
3
+ 4
3
3
p
(n
3
+ 1)
2
+
3
p
(n
3
+ 1)(n
3
+ 4) +
3
p
(n
3
+ 4)
2
=
= lim
n→∞
n
3
+ 1 − n
3
− 4
3
p
(n
3
+ 1)
2
+
3
p
(n
3
+ 1)(n
3
+ 4) +
3
p
(n
3
+ 4)
2
= 0.
В приведённых примерах мы имели неопределённость вида
∞ − ∞. При этом может получиться предел конечный, отличный
от нуля, равный нулю или бесконечный.
3.2.5. Найдите:
а) lim
n→∞
n
2
n
2
+ 4
√
n
3
√
n + 2
= lim
n→∞
n
2
n
2
+ 4
i +
√
n
3
√
n + 2
j
;
б) lim
n→∞
2n
n + 1
i +
1 − 4n
2n + 1
j +
n + 5
n − 6
k
.
Решение: а) имеем векторную послед овательность. Её пределом,
согласно теории, является вектор, координаты которого равны пре-
делам координатных последовательностей. Поэтому
lim
n→∞
n
2
n
2
+ 4
√
n
3
√
n + 2
=
lim
n→∞
n
2
n
2
+ 4
lim
n→∞
√
n
3
√
n + 2
=
lim
n→∞
1
1 + 4/n
2
lim
n→∞
1
3 + 2/
√
n
=
=
1
1/3
= i +
1
3
j;
б) пусть дан вектор a
n
= {x
n
, y
n
, z
n
}, тогда |a
n
| =
p
x
2
n
+ y
2
n
+ z
2
n
.
Учитывая, что функции f(x, y, z) =
p
x
2
+ y
2
+ z
2
и ϕ(x) = x
2
непре-
рывны, получаем, что lim
n→∞
|a
n
| =
q
lim
n→∞
x
2
n
+ lim
n→∞
y
2
n
+ lim
n→∞
z
2
n
.
Поэтому lim
n→∞
2n
n + 1
i +
1 − 4n
2n + 1
j +
n + 5
n − 6
k
=
=
s
lim
n→∞
2n
n + 1
2
+
lim
n→∞
1 − 4n
2n + 1
2
+
lim
n→∞
n + 5
n − 6
2
=
=
s
lim
n→∞
2
1 + 1/n
2
+
lim
n→∞
1/n − 4
2 + 1/n
2
+
lim
n→∞
1 + 5/n
1 − 6/n
2
=
=
p
2
2
+ (−2)
2
+ 1
2
=
√
4 + 4 + 1 = 3.

Страницы