Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

86 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
в) lim
n→∞
n
3
+ 4n + 1
n
2
+ n + 5
= lim
n→∞
1 + 4/n
2
+ 1/n
3
1/n + 1/n
2
+ 5/n
3
=
= lim
n→∞
1 +
4
n
2
+
1
n
3
·
1
1/n + 1/n
2
+ 5/n
3
= 1 ·∞ = ∞;
г) учитывая непрерывность функции y = x
2
, получаем
lim
n→∞
n
4
+ 2n
3
+ 3
2n
4
+ 3n
2
+ 2
2
=
∞
∞
=
lim
n→∞
n
4
+ 2n
3
+ 3
2n
4
+ 3n
2
+ 2
2
=
=
lim
n→∞
1 + 2/n + 3/n
4
2 + 3/n
2
+ 2/n
4
2
=
1
2
2
=
1
4
.
3.2.3. Найдите следующие пределы:
а) lim
n→∞
3
√
8n
3
+ 2n
2
− 1
n + 3
; б) lim
n→∞
4
√
n
3
+ 2n
2
(n + 3)
.
Решение. а) lim
n→∞
3
√
8n
3
+ 2n
2
− 1
n + 3
=
∞
∞
=
=
3
p
(8n
3
+ 2n
2
− 1)/n
3
(n + 3)/n
= lim
n→∞
3
p
8 + 2/n − 1/n
3
1 + 3/n
= 2
(поделили числитель и знаменатель на n, величину n подвели под
знак корня, применили теорему о пределе частного, использовали
непрерывность функции
3
√
u, применили теорему о пределе суммы);
б) lim
n→∞
4
√
n
3
+ 2n
2
(n + 3)
=
∞
∞
= lim
n→∞
(
4
√
n
3
+ 2n)/n
(n + 1)/n
=
= lim
n→∞
4
p
n
3
/n
4
+ 2n/n
4
1 + 1/n
= lim
n→∞
4
p
1/n + 2/n
3
1 + 1/n
= 0
(обоснование всех операций сделать самостоятельно).
3.2.4. Найдите следующие пределы:
а) lim
n→∞
(
√
n
2
+ 6n + 8 − n); б) lim
n→∞
(
3
√
n
3
+ 1 −
3
√
n
3
+ 4).
Решение этих примеров основано на применении формул
(a − b)(a + b) = a
2
− b
2
и (a
3
− b
3
) = (a − b)(a
2
+ ab + b
2
):
а) lim
n→∞
(
√
n
2
+ 6n + 8 − n) = (∞ − ∞) =
= lim
n→∞
(
√
n
2
+ 6n + 8 − n)(
√
n
2
+ 6n + 8 + n)
√
n
2
+ 6n + 8 + n
=
= lim
n→∞
n
2
+ 6n + 8 − n
2
√
n
2
+ 6n + 8 + n
= lim
n→∞
(6n + 8)/n
(
√
n
2
+ 6n + 8 + n)/n
=
= lim
n→∞
(6 + 8/n)
p
1 + 6/n + 8/n
2
+ 1
=
6
1 + 1
= 3;

Страницы