Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

84 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
3.1.18. Найдите и постройте область определения следующих
функций:
а) f(x, y) =
p
4x − y
2
lg(1 − x
2
− y
2
)
; б) f(x, y) =
p
x
2
+ 2x + y
2
p
x
2
− 2x + y
2
.
3.1.19. Докажите, что функции
а) f
1
(x) = 2
−x
2
и f
2
(x) =
2
x
+ 2
−x
2
— чётные;
б) ϕ
1
(x) =
2
x
− 2
−x
2
и ϕ
2
(x) =
3
x
+ 1
3
x
− 1
— нечётные;
в) ψ
1
(x) = sin x − cos x и ψ
2
(x) = 2
x−x
2
— общего вида.
3.1.20. Даны функции: а) y = sin
2
x; б) y = sin x
2
;
в) y = 1+tg x; г) y = sin
1
x
. Какие из них являются периодическими?
Ответ: а) и в).
3.1.21. Докажите, что функция y =
2
x
1 + 2
x
имеет обратную, и
найдите её.
Ответ: y = log
2
x
1 − x
.
3.1.22. Докажите, что функция y = x
2
− 2x имеет две обратных:
y
1
= 1 +
√
x + 1 и y
2
= 1 −
√
x + 1.
3.1.23. Постройте графики следующих функций:
а) f(x) =
x, если − ∞ < x < 1;
1
2
x +
1
2
, если 1 ≤ x ≤ 3;
4, если 3 < x < +∞;
б) f(x) = |x − 1| + |x + 3|; в) f(x) = |x
2
− 2x + 1|;
г) f(x) = sin x + |sin x|, если 0 ≤ x ≤ 3π; д) f(x) = arccos(cos x);
е) f(t) =
h
t + 5
t − 7
i
; ж) f(t) =
t + 1
t
2
+ 2t + 2
.
3.1.24. Охарактеризуйте вид графика следующих функций:
а) z =
p
1 − x
2
− y
2
; б) z = x
2
+ y
2
;
в) z =
p
x
2
+ y
2
; г) z = x
2
− y
2
.
3.1.25. Начертите линии уровня данных функций, придавая z
значения от −3 до +3 через 1: а) z = xy; б) z = y(x
2
+ 1).
3.1.26. Постройте графики функций:
а) y = 2
p
−3(x + 1) − 0,5 с помощью преобразования графика
функции y =
√
x;
б) y = 3 sin(2x − 4) с помощью преобразования графика функции
y = sin x.

Страницы