Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.2. Предел последовательности (задачи 3, а, б) 85
3.2. Предел последовательности (задачи 3, а, б)
Предлагается изучить п. 1.5.2.
3.2.1. Исходя из определения предела последовательности, дока-
жите, что lim
n→∞
1
n
= 0.
Решение. Пусть U
ε
(0) любая ε-окрестность точки 0. Требуется,
согласно определению предела последовательности, найти окрест-
ность символа +∞ такую, что если n ∈ V
M
(+∞), т.е. n > M, то
должно выполняться
1
n
− 0
< ε, т.е.
1
n
< ε или n >
1
ε
. Видим, что
можно принять M =
1
ε
. Если выполнено n >
1
ε
, то
1
n
< ε. Это и
означает, что lim
n→∞
1
n
= 0.
Теоремы о пределе суммы, произведения и частного, сформули-
рованные для функций непрерывного аргумента, переносятся и на
последовательности. Применяя результаты решения задачи 3.2.1 и
теорему о пределе произведения последовательностей, легко нахо-
дим, что lim
n→∞
1
n
2
= lim
n→∞
1
n
· lim
n→∞
1
n
= 0. Учитывая непрерывность
функции f(x) = x
λ
, λ > 0 и применяя теорему о предел е частного,
получаем lim
n→∞
1
n
λ
=
1
lim
n→∞
n
λ
= 0 при λ > 0.
3.2.2. Найдите пределы следующих последовательностей:
а) lim
n→∞
2n
2
+ 5n + 4
n
2
+ 7
; б) lim
n→∞
n
2
− 2n + 3
n
3
+ 5n
2
+ 4
;
в) lim
n→∞
n
3
+ 4n + 1
n
2
+ n + 5
; г) lim
n→∞
n
4
+ 2n
3
+ 3
2n
4
+ 3n
2
+ 2
2
.
Решение. В примерах а, б, в делим числитель и знаменатель на
старшую степень величины n. Получаем:
а) lim
n→∞
2n
2
+ 5n + 4
n
2
+ 7
=
∞
∞
= lim
n→∞
2 + 5/n + 4/n
2
1 + 7/n
2
= 2
(применили теорему о пределе частного, суммы и то, что
lim
n→∞
5
n
= lim
n→∞
4
n
2
= lim
n→∞
7
n
2
= 0);
б) lim
n→∞
n
2
− 2n + 3
n
3
+ 5n
2
+ 4
=
∞
∞
= lim
n→∞
1/n − 2/n
2
+ 3/n
3
1 + 5/n + 4/n
3
= 0;

Страницы