Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.1. Понятие функции. Область определения функции 83
f
3
(−x) = −2x
3
+ x + 1. Видим, что f
3
(x) 6= −f
3
(−x) и
f
3
(−x) 6= f
3
(x), т.е. функция f
3
(x) общего вида.
3.1.10. Докажите, что если f(x) — периодическая функция с пе-
риодом T , то функци я f (ax) также периодическая с периодом T/a.
Действительно, f[a(x + T/a)] = f(ax + T) = f(ax), т.е. T/a —
один из периодов функции f(ax).
3.1.11. Найдите период функции f(x) = cos
2
x.
Решение. Можем записать: cos
2
x =
1 + cos 2x
2
. Видим, что пе-
риод функции cos
2
x совпадает с периодом функции cos 2x. Так как
период функции cos x равен 2π, то согласно задаче 3.1.10 период
функции cos 2x равен π.
Задачи для самостоятельного решения
3.1.12. Пусть f(x) = x
2
и ϕ(x) = 2
x
. Найдите:
а) f[ϕ(x)], б) ϕ[f(x)].
Ответы: а) 2
2x
; б) 2
x
2
.
3.1.13. Найдите f(x + 1), если f (x − 1) = x
2
.
Ответ: x
2
.
3.1.14. Дана функция f(x) =
1
1 − x
. Найдите
ϕ(x) = f{f[f(x)]}.
Ответ: x.
3.1.15. Найдите области определения следующих функций:
а) f(x) =
√
x + 1; б) f(x) = lg
2 + x
2 − x
;
в) f(x) =
√
2 + x − x
2
; г) f(x) =
p
arcsin(log
2
x).
Ответы: а) [−1, +∞); б) [−2, 2]; в) [−1, 2]; г) [1, 2].
3.1.16. Постройте область определения следующих функций:
а) f(x, y) = log
2
(x + y); б) f(x, y) =
√
x
2
− 4 +
p
4 − y
2
;
в) f(x, y) = arcsin
x
2
+ y
2
4
; г) f(x, y) =
√
xy.
3.1.17. Найдите область определения следующих функций:
а) f(x) =
1 − lg x
1
√
x
2
− 4x
; б) f(x) =
arcsin
3 − 2x
5
√
3 − x
.
Ответы: а) [4, +∞); б) [−1, 3].

Страницы