Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

82 3. Методические указания (контрольная работа № 3)
x > −1 или в (−1, +∞). Этот луч и является областью определения
функции f(x).
В случае б) f
1
(x) =
√
x − 2 +
√
4 − x. Эта функция определе-
на на отрезке [2, 4], функция f
2
(x) = arccos
x + 1
4
определена при
x + 1
4
≤ 1, т.е. |x + 1| ≤ 4 или −4 ≤ x + 1 ≤ 4. Получаем отрезок
[−5, 3]. Этот отрезок с отрезком [2, 4] имеет общую часть [2, 3]. От-
резок [2, 3] является областью определения функции ϕ(x).
3.1.7. Найдите область определения векторной функции вектор-
ного аргумента f : X ⊂ R
2
→ Y ⊂ R
2
: f(x, y) =
h
x + arcsin y
y + arcsin x
i
.
Решение. Область определения этой функции является
пересечением областей определения координатных функций
f
1
(x, y) = x + arcsin y и f
2
(x, y) = y + arcsin x. Первая из них опре-
делена в полосе −1 ≤ y ≤ 1, а вторая — в полосе −1 ≤ x ≤ 1.
Эти полосы пересекаются по замкнутому квадрату со сторонами
x = ±1 и y = ±1, который и является областью определения данной
функции.
3.1.8. Функция f(x) определена на отрезке [2, 4]. Какова область
определения функций: а) f(8x
2
), б) f(x − 3)?
Решение: а) функция f(8x
2
) является композицией функ-
ций u = 8x
2
и f(u). Область значений функции u = 8x
2
долж-
на входить в область определения функции f(u), поэтому
2 ≤ 8x
2
≤ 4, т.е. 1/4 ≤ x
2
≤ 1/2. Отсюда следует, что множество
[−1/
√
2, −1/2] ∪ [1/2, 1/
√
2] является областью определения функ-
ции f(8x
2
);
б) функция f(x − 3) определена при всех x, удовлетворяющих
неравенству 2 ≤ x − 3 ≤ 4, т.е. на отрезке [5, 7].
3.1.9. Докажите, что функция f
1
(x) = lg
1 − x
1 + x
является нечёт-
ной, f
2
(x) = x
3
x
+ 1
3
x
− 1
чётна, а функция f
3
(x) = 2x
3
− x + 1 общего
вида (не является ни чётной, ни нечётной).
Решение.
f
1
(−x) = lg
1 + x
1 − x
= lg
1 − x
1 + x
−1
= −lg
1 − x
1 + x
= −f
1
(x);
f
2
(−x) = −x
3
−x
+ 1
3
−x
− 1
= −x
1/3
x
+ 1
1/3
x
− 1
= −x
3
x
+ 1
1 − 3
x
=
= x
3
x
+ 1
3
x
− 1
= f
2
(x), т.е. функция f
1
(x) нечётна, а f
2
(x) чётна;

Страницы