Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3.1. Понятие функции. Область определения функции 81
3.1.4. Даны функции f(x) =
√
x, ϕ(x) = sin x. Найдите f[f(x)],
ϕ[ϕ(x)], f[ϕ(x)], ϕ[f(x)].
Решение. f[f(x)] =
p
√
x =
4
√
x; ϕ[ϕ(x)] = sin(sin x);
f[ϕ(x)] =
√
sin x; ϕ[f(x)] = sin(
√
x).
3.1.5. Найдите область определения следующих функций:
а) f(x) =
√
x
2
− x − 2 +
1
√
3 + 2x − x
2
; б) f(x) =
r
lg
5x − x
2
4
.
Решение: а) область определения данной функции состоит из тех
значений x, для которых оба слагаемых принимают действительные
значения. Должны выполняться два условия:
(x
2
− x − 2) ≥ 0,
(3 + 2x − x
2
) > 0.
Корнями квадратного уравнения x
2
− x − 2 = 0 являются числа −1
и 2, a уравнения 3 + 2x −x
2
= 0 — числа −1 и 3. Поэтому данная
система эквивалентна системе
(x + 1)(x − 2) ≥ 0,
(x + 1)(x − 3) < 0.
Используя метод интервалов, находим, что первое неравенство вы-
полняется на лучах (−∞, −1] и [2, +∞), а второе — в интервале
(−1, 3). Общей частью этих трёх множеств является множество [2, 3),
которое и является областью определения данной функции;
б) функция f(x) =
r
lg
5x − x
2
4
принимает действительные зна-
чения, если lg
5x − x
2
4
≥ 0, т.е. если
5x − x
2
4
≥ 1, или x
2
− 5x + 4 =
= (x − 1)(x − 4) ≤ 0. Решая последнее неравенство, находим, что об-
ластью определения является отрезок [1, 4].
3.1.6. Найдите область определения следующих векторных
функций скалярного аргумента:
а) f(x) =
"
x
2
lg
1
x + 1
#
, б) ϕ(x) =
"
√
x − 2 +
√
4 − x
arccos
x + 1
4
#
.
Решение. Чтобы найти область определения векторной функ-
ции, нужно найти области определения каждой координатной ф унк-
ции и взять их общую часть. В случае а) имеем: f
1
(x) = x
2
,
f
2
(x) = lg
1
x + 1
. Функция f
1
(x) определена на всей числовой оси
(−∞, +∞), а функция f
2
(x) определена при
1
x + 1
>0, т.е. при

Страницы