Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.19. Общая схема исследования функции 79
7. Находим y
′′
(x):
y
′′
(x) =
6x
5
− 96x
2
(x
3
− 8)
2
−
(x
6
− 32x
3
)2 · 3x
2
(x
3
− 8)
3
=
=
(6x
5
− 96x
2
)(x
3
− 8) − 6x
2
(x
6
− 32x
3
)
(x
3
− 8)
3
=
48x
2
(x
3
+ 16)
(x
3
− 8)
3
.
Вторая производная меняет знак при переходе через точки x
2
= 2
и x
1
= −
3
√
16 = −2,52. На луче (−∞, −2
3
√
2) справедливо y
′′
> 0, сле-
довательно, график функции выпуклый вниз, на участке (−2
3
√
2, 2)
имеем y
′′
< 0, следовательно, график функции выпуклый вверх. От-
сюда следует, что точка x
1
= −
3
√
16 ≈ −2,52 является точкой пере-
гиба. На луче (2, +∞) имеем y
′′
> 0, и график функции выпуклый
вниз.
Для удобства построения графика полученные данные, а также
значения функции в некоторых точках можно занести в таблицы.
x −3 −2
3
√
2 0 1,5 2
3
√
4 2,5 4
y −2,31 −1,66 0 −1,09 4,23 5,12 4,57
перегиб max min
x (−∞, 0) (0, 2) (2, 2
3
√
4) (2
3
√
4, +∞)
y возрастает убывает убывает возрастает
x (−∞, −2
3
√
2) (−2
3
√
2, 2) (2, +∞)
y выпукла вниз выпукла вверх выпукла вниз
Асимптоты x = 2 и y = x. На основании этих данных строим гра-
фик функции, из ображённый на рис. 2.7. Рекомендуется построить
сначала асимптоты.
Рис. 2.7.

Страницы