Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

78 2. Дифференциальное исчисление
2.19.2. Исследуйте функцию y =
x
4
x
3
− 8
и постройте график.
Решение.
1. Функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2,
т.е. её область определения (−∞, 2) ∪ (2, +∞). Область значений —
вся числовая ось (−∞, +∞). На луче (−∞, 2) она отрицательна, а
на луч е (2, +∞) — положительна.
2. Функция y =
x
4
x
3
− 8
общего вида, не является ни четной, ни
нечетной.
3. Данная функция непериодическая.
4. Функция y =
x
4
x
3
− 8
непрерывна всюду, как отношение мно-
гочленов, кроме точки x = 2, в которой знаменатель обращается в
нуль. Так как lim
x→−∞
x
4
x
3
− 8
= −∞, а lim
x→+∞
x
4
x
3
− 8
= +∞, то точка
x = 2 — точка разрыва второго рода. Прямая x = 2 — двусторонняя
вертикальная асимптота.
5. Находим наклонные асимптоты y = kx + b:
k = lim
x→+∞
x
4
x(x
3
− 8)
= 1, b = lim
x→+∞
x
4
x
3
− 8
− x
= lim
x→+∞
8x
x
3
− 8
=
= 0, следовательно, прямая y = x — наклонная двусторонняя асимп-
тота.
6. Находим производную y
′
:
y
′
=
4x
3
(x
3
− 8) − 3x
2
x
4
(x
3
− 8)
2
=
x
6
− 32x
3
(x
3
− 8)
2
=
x
3
(x
3
− 32)
(x
3
− 8)
2
=
=
x
3
(x − 2
3
√
4)(x
2
+ 2
3
√
4x + 4
3
√
16)
(x
3
− 8)
2
.
Так как знаменатель положителен всюду в (−∞, 2)∪(2, +∞), то знак
производной совпадает со знаком числителя.
Сомножитель x
2
+ 2
3
√
4x + 4
3
√
16 > 0 при любых x, поэтому
производная обращается в нуль только в точках x
1
= 0 и
x
2
= 2
3
√
4 ≈2 · 1,59 = 3,18. На участке (−∞, 0) производная положи-
тельна, следовательно, функция возрастает, а на участке (0, 2) про-
изводная отрицательна, следовательно, функция убывает. В точке
x = 0 имеем максимум, равный нулю. Если x ∈ (2, 2
3
√
4), то y
′
< 0,
следовательно, функция убывает, а если x ∈ (2
3
√
4, +∞), то y
′
> 0 и
функция возрастает, следовательно, в точке x = 2
3
√
4 ≈ 3,18 имеем
минимум, при ближенно равный y
min
∼
=
(3,18)
4
(3,18)
3
− 8
≈ 4,23.

Страницы