Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

76 2. Дифференциальное исчисление
2.19.1. Исследуйте функцию f(x) =
x
3
4 − x
2
и постройте график.
Решение.
1. Область определения функции (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, +∞).
Область зн ачений функции (−∞, +∞).
2. Так как f (−x) = −f(−x), то функция f(x) нечётна.
3. Функция непериодическая.
4. Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точек x =
= ±2, где она терпит разрыв второго рода, так как lim
x→±2
x
3
4 − x
2
= ∞.
Прямые x = 2 и x = −2 — двусторонние вертикальные асимптоты.
5. Находим наклонные асимптоты y = kx + b. Нами показано, что
k = lim
x→∞
f(x)
x
= lim
x→∞
x
3
(4 − x
2
)x
= lim
x→∞
x
3
4x − x
3
= −1,
b = lim
x→∞
[f(x) −kx] = lim
x→∞
x
3
4 − x
2
+ x
=
4x
4 − x
2
= 0.
Итак, прямая y = −x — наклонная асимптота.
6. Находим
f
′
(x) =
3x
2
(4 − x
2
) + 2x · x
3
(4 − x
2
)
2
=
12x
2
− x
4
(4 − x
2
)
2
=
x
2
(12 − x
2
)
(4 − x
2
)
2
.
Видим, что точки x = 0 и ±
√
12 = ±3,46 — критические. Из нера-
венства x
2
(12 − x
2
) < 0, x 6= ±2 следует, что при x ∈ (−∞, −
√
12)
и x ∈ (
√
12, +∞) функция f(x) убывает, а из неравенства
x
2
(12 − x
2
) > 0, x 6= ±2 получаем, что на промежутках (−
√
12, −2),
(−2, 2) и (2,
√
12) функция возрастает. Отсюда следует, что в точке
x = −
√
12 фун кция имеет минимум, равный
f(−
√
12) =
−3,46
3
4 − 12
∼
=
41,42
8
∼
=
5,18,
а в точке x = +
√
12 — максимум, равный −5,18.
7. Находим
f
′′
(x) =
12x
2
− x
4
(4 − x
2
)
2
′
=
8x(x
2
+ 12)
(4 − x
2
)
3
(промежуточные вычисления предлагаем проделать самостоятель-
но). Видим, что f
′′
(x) > 0 на промежутках (−∞, −2) и (0, 2). На
этих промежутках функция выпукла вниз. На промежутках (−2, 0)
и (2, +∞) имеем f
′′
(x) < 0, следовательно, функция выпукла вверх.
В точке x = 0 функция непрерывна, и при переходе через неё функ-
ция меняет направление выпуклости. Поэтому x = 0 является точкой
перегиба.

Страницы