Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

74 2. Дифференциальное исчисление
Определение 2. Точка x
0
перехода от выпуклости вниз к выпукло-
сти вверх или наоборот называется точкой перегиба графика функ-
ции, непрерывной в x
0
.
Из определения и теоремы 2 следует, что если x
0
— точка переги-
ба и существует вторая производная, то f
′′
(x
0
) = 0, причём вторая
производная при переходе через x
0
меняет знак.
Пример. Найти промежутки выпуклости вверх и выпуклости
вниз, а также точки перегиба для графика функции f(x) = 3x
2
−x
3
.
Решение. Данная функция имеет вторую производную на всей
числовой оси. Находим f
′
(x) = 6x − 3x
2
, f
′′
(x) = 6 − 6x = 6(1 − x).
При x ∈ (−∞, 1) имеем f
′′
(x) > 0, следовательно, на (−∞, 1) график
функции является выпуклым вниз. На промежутке (1, +∞) график
функции выпуклый вверх, так как f
′′
(x) < 0. Точка x = 1 является
точкой перегиба, поскольку при переходе через неё вторая производ-
ная меняет знак.
2.18. Асимптоты графика функции
При построении графиков функции полезно иметь представление
о его поведении, когда точка графика неограниченно удаляется от
нач ала координат.
Определение. Прямая L называется асимптотой графика функ-
ции f(x), есл и при стремлении точки графика к бесконечности рас-
стояние между точкой графика функц ии f(x) и прямой L стремится
к нулю.
Все асимптоты делят на два класса: вертикальные — задаются
уравнением x = x
0
, и наклонные — задаются уравнением y = kx + b.
Если хотя бы один из пределов lim
x→x
0
+0
f(x) или lim
x→x
0
−0
f(x) равен
бесконечности, то прямая x = x
0
является вертикальной асимпто-
той. В этом случае точка x
0
является точкой разрыва второго рода
для f(x).
-
6
α
α
0
x
y
Рис. 2.5.
Пусть прямая y = kx + b —
наклонная асимптота и ρ(x) —
расстояние между соответ-
ствующими точками прямой
y = kx + b и графика функции
f(x) (рис. 2.5). Тогда
ρ(x)
cos α
= f(x) −(kx + b),
а так как lim
x→∞
ρ(x) = 0, то от-
сюда следует, что
lim
x→∞
[f(x) − (kx + b)] = 0. (2.33)

Страницы