Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

72 2. Дифференциальное исчисление
Точки x
1
= 0 и x
2
= −1 являются внутренними для отрезка [−2, 1].
Находим f(0) = 3, f(−1) = 1 −2 +3 = 2. Находим значения функции
в граничных точках отрезка x
4
= −2 и x
5
= 1, f(−2) = 16−8+3 = 11,
f(1) = 2.
Сравнивая найденные значения, видим, что наибольшее значение
достигается в точке x = −2 и равно 11, а наименьшее — в точках
x = ±1 и равно 2.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x, y) = x
2
y(2−x−y) в треугольнике, ограниченном прямыми x = 0,
y = 0, x + y = 6.
Решение. Находим стационарные точки из системы уравнений
∂f
∂x
= 2xy(2 − x − y) − x
2
y = xy(4 − 3x − 2y) = 0,
∂f
∂y
= x
2
(2 − x − y) − x
2
y = x
2
(2 − x − 2y) = 0.
Решением её являются точки M
1
(0, y), y — любое, M
2
(2, 0),
M
3
1,
1
2
. Из этих точек только M
3
является внутренней, f(M
3
) =
= f
1,
1
2
= 1 ·
1
2
2 − 1 −
1
2
=
1
4
. На участках границы x = 0 и
y = 0 f(0, y) = f(x, 0) = 0. Исследуем поведение функции на участке
границы y = 6 − x, 0 ≤ x ≤ 6. На границе функция f (x, y) превра-
щается в функцию одной переменной
Φ(x) = f(x, 6 −x) = x
2
(6 −x)(2 −x −6 + x) = 4x
2
(x −6) = 4x
3
−24x
2
.
Найдём наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрез-
ке [0; 6]. Имеем Φ
′
(x) = 12x
2
− 48x = 12x(x − 4) = 0, отсюда x
1
= 0,
x
2
= 4. Находим Φ(0) = 0, Φ(4) = −128, Φ(6) = 0. Сравнивая все най-
денные значения функции, видим, что наименьшее значение, равное
−128, достигается в точке (4, 2), а наибольшее, равное
1
4
, достигается
в точке
1,
1
2
.
2.17. Выпуклость вверх и вниз графика
функции
В этом разделе изучаются функции f : X ⊆ R → Y ⊆ R – скаляр-
ные функции одного скалярного аргумента.
Определение 1. График функции f(x), определённой и непрерыв-
ной на промежутке X, называется выпуклым вниз (вверх), если все
точки любой дуги графика лежат ниже (выше) хорды, соединяющей
её концы.

Страницы