Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

70 2. Дифференциальное исчисление
Определение 3. Миноры матрицы A:
∆
1
= a
11
, ∆
2
=
a
11
a
12
a
21
a
22
, ∆
3
=
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
, . . . ,
∆
n
=
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
··· ··· ··· ···
a
n1
a
n2
. . . a
nn
называются главными.
Теорема (критерий Сильвестра). Невырожденная квадратичная
форма является положительно определённой тогда и только тогда,
когда все главные миноры её матрицы больше нуля, и является от-
рицательно определённой, если знаки главных миноров черед уются,
начиная с отрицательного.
Пусть дана скалярная функция двух переменных z = f(x, y) и
(x
0
, y
0
) её стационарная точка. Тогда
∆f = f(x, y) − f(x
0
, y
0
) =
1
2
d
2
f + R
3
(x
0
, y
0
, ∆x, ∆y) =
=
1
2
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
)(dx)
2
+ 2
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
, y
0
)dxdy +
∂
2
f
∂y
2
(x
0
, y
0
)(dy)
2
+ R
3
.
Знак ∆f полностью определяется величиной квадратичной формы
d
2
f = f
′′
xx
(x
0
, y
0
)(dx)
2
+ 2f
′′
xy
(x
0
, y
0
)dxdy + f
′′
y y
(x
0
, y
0
)(dy)
2
. Если d
2
f
положительно определена, т.е. если, согласно критерию Сильвестра,
f
′′
xx
(x
0
, y
0
) > 0,
f
′′
xx
(x
0
, y
0
) f
′′
xy
(x
0
, y
0
)
f
′′
xy
(x
0
, y
0
) f
′′
y y
(x
0
, y
0
)
> 0,
то в точке (x
0
, y
0
) — минимум. Если же d
2
f отрицательно опреде-
лённая квадратичная форма, т.е. если
f
′′
xx
(x
0
, y
0
) < 0,
f
′′
xx
(x
0
, y
0
) f
′′
xy
(x
0
, y
0
)
f
′′
xy
(x
0
, y
0
) f
′′
y y
(x
0
, y
0
)
> 0,
то в точке (x
0
, y
0
) — максимум. Если же для одних значений dx, dy
величина d
2
f > 0, а для других d
2
f < 0, то экстремума нет.
Если окажется d
2
f = 0, то для исследования нужно привлекать
дифференциалы более высокого порядка.
Пример 1. Найти точки экстремума функции
f(x) = x
3
− 6x
2
+ 9x −3.
Решение. Так как функция f(x) дифференцируема на всей
числовой оси, то подозрительными на экстремум являются лишь
стационарные точки. Найдём их. Для этого решим уравнение
f
′
(x) = 3x
2
− 12x + 9 = 3(x
2
− 4x + 3) = 0. x
1,2
= 2 ±
√
4 − 3 = 2 ± 1;
x
1
= 1, x
2
= 3. Так как f
′
(x) = 3(x −1)(x −3), то при переходе через
точку x
1
= 1 производная f
′
(x) меняет знак по схеме “+” на “−”, в

Страницы