Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.16. Экстремумы 69
Достаточные условия экстремума на основе второй и высших
производных.
Пусть x
0
— стационарная точка и существует вторая произ-
водная f
′′
(x
0
). Тогда, используя формулу Тейлора, можем запи-
сать ∆f = f(x) − f(x
0
) =
f
′′
(x
0
)
2!
(x − x
0
)
2
+ R
3
(x
0
, ∆x), где величи-
на R
3
(x
0
, ∆x) имеет порядок малости относительно ∆x выше второ-
го. Поэтому знак ∆f определяется первым слагаемым. Видим, что
при f
′′
(x
0
) > 0, f(x) > f(x
0
) и в точке x
0
— минимум, при f
′′
(x
0
) < 0,
f(x) < f (x
0
) и в точке x
0
— максимум.
Пусть f
′
(x
0
) = f
′′
(x
0
) = . . . = f
(n−1)
(x
0
) = 0, f
(n)
(x
0
) 6= 0. Тогда
∆f = f(x) − f(x
0
) =
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
+ R
n+1
(x
0
, ∆x), где вели-
чина R
n+1
(x
0
, ∆x) относительно ∆x имеет порядок малости выше
n, т.е. знак ∆f определяется первым слагаемым. П ри n чётном и
f
(n)
(x
0
) > 0 в точке x
0
— минимум, при n чётном и f
(n)
(x
0
) < 0 в
точке x
0
— максимум. Если же n нечётно, то в точке x
0
экстремума
нет.
Достаточные условия экстремума для скалярной функции мно-
гих переменных f = f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
). Пусть x
0
= (x
0
1
, x
0
2
, . . . , x
0
n
) —
стационарная точка, т.е. df = 0. По формуле Тейлора можем запи-
сать
∆f = f (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) − f(x
0
1
, x
0
2
, . . . , x
0
n
) =
1
2!
d
2
f + R
3
(x
0
, ∆x).
Знак ∆f определяется знаком d
2
f, являющимся квадратичной
формой. Для анализа величины d
2
f нам понадобятся некоторые до-
полнительные сведения из линейной алгебры.
Определение 1. Квадратичная форма
Q(x) = Q(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
n
X
i,k=1
a
ik
x
i
x
k
, a
ik
= a
ki
называется невырожденной, если её матрица невырождена.
Определение 2. Невырожденная квадратичная форма называется
положительно определённой, если Q(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) > 0 для любого
вектора x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
), и называется отрицательно определён-
ной, если для ∀x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) имеет место
Q(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) < 0.
Квадратичная форма называется неопределённой, если для од-
них x величина Q(x) > 0, а для других — Q(x) < 0.

Страницы