Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.16. Экстремумы 71
точке x
1
= 1 функция имеет максимум, а при переходе через точку
x
2
= 3 производная f
′
(x) ме няет знак с “−” на “+”, следовательно, в
точке x
2
= 3 минимум. Можно было воспользоваться второй произ-
водной: f
′′
(x) = 6x − 12. Так как f
′′
(1) = −6 < 0, то в точке x
1
= 1
максимум, f
′′
(3) = 18 − 12 = 6 > 0, то в точке x
2
= 3 минимум.
Пример 2. Найти точки экстремума функции
f(x, y) = 1 + 6x −x
2
− xy − y
2
.
Решение.
Стационарные точки находим из условия
∂f
∂x
= 6 − 2x −y = 0,
∂f
∂y
= −x − 2y = 0,
решая эту систему, находим координаты единственной стационар-
ной точки M
0
(4, −2). Так как f
′′
xx
(4, −2) = −2 < 0, f
′′
y y
(4, −2) = −2,
f
′′
xy
(4, −2) = −1, то
f
′′
xx
f
′′
xy
f
′′
xy
f
′′
y y
=
−2 −1
−1 −2
= 3 > 0, и в точке
(4, −2) имеем максимум.
2.16.3. Отыскание наибольшего и наименьшего значений
функции
Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения ска-
лярной функции f(x) одной или многих переменных, заданной в за-
мкнутой области X. Точки, в которых достигаются эти значения,
могут быть как внутренними множества X, так и граничными. Ал-
горитм для их отыскания следующий:
1) находим все подозрительные на экстремум точки, лежащие
внутри X, и вычисляем значения функции в этих точках;
2) задав границы области X в виде системы равенств, находим
подозрительные на экстремум точки, лежащие на границе. Вычис-
ляем значения функции в этих точках;
3) из всех значений функции, найденных в пп. 1 и 2, находим наи-
меньшее и наибольшее, которые и будут наименьшим и наибольшим
значениями функции в области X.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = x
4
− 2x
2
+ 3 на отрезке [−2, 1].
Решение. Так как функция f дифференцируема на всей числовой
оси, то подозрительные на экстремум точки совпадают со стационар-
ными точками, которые находим из условия
f
′
(x) = 4x
3
− 4x = 4x(x
2
− 1): x
1
= 0, x
2
= −1, x
3
= 1.

Страницы