Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.17. Выпуклость вверх и вниз графика функции 73
Уравнение прямой A
1
A
2
Рис. 2.4.
(рис. 2.4) запишем в виде
y =
x
2
− x
x
2
− x
1
f(x
1
) +
x − x
1
x
2
− x
1
f(x
2
).
Таким образом, график функ-
ции f(x) является выпуклым вниз,
если
f(x) ≤
x
2
− x
x
2
− x
1
f(x
1
) +
x − x
1
x
2
− x
1
f(x
2
), (2.32)
и выпуклым вверх, если
f(x) ≥
x
2
− x
x
2
− x
1
f(x
1
) +
x − x
1
x
2
− x
1
f(x
2
).
Теорема 1. Если функция f (x) определена, непрерывна на [a, b]
и имеет конечную производную на (a, b), то для того, чтобы график
функции f (x) был выпуклым вниз (вверх), необходимо и достаточно,
чтобы производная f
′
(x) на (a, b) возрастала (убывала).
Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) выпукла
вниз. Неравенство (2.32) можно переписать в виде
f(x) − f(x
1
)
x − x
1
≤
f(x
2
) − f(x)
x
2
− x
, (x
1
< x < x
2
),
из которого после предельных переходов x → x
1
и x → x
2
получим
f
′
(x
1
) ≤ f
′
(x
2
), т.е. f
′
(x) возрастает.
Достаточность. Предположим, что производная f
′
(x) возрастает.
Докажем, что тогда справедливо неравенство (2.32) или, что то же
самое, неравенство
f(x) − f(x
1
)
x − x
1
≤
f(x
2
) − f(x)
x
2
− x
, где x
1
< x < x
2
. Из
теоремы Лагранжа следует, что
f(x) − f(x
1
)
x − x
1
= f
′
(ξ
1
),
f(x
2
) − f(x)
x
2
− x
= f
′
(ξ
2
),
где x
1
< ξ
1
< x < ξ
2
< x
2
. Так как производная возрастает, то
f
′
(ξ
1
) ≤ f
′
(ξ
2
), т.е.
f(x) − f(x
1
)
x − x
1
≤
f(x
2
) − f(x)
x
2
− x
. Неравенство (2.32)
доказано.
Теорема 2. Пусть f(x) определена н а [a, b] и существует вторая
производная f
′′
(x) на (a, b). Тогда для выпуклости вниз (вверх) гра-
фика функции необходимо и достаточно, чтобы было f
′′
(x) ≥ 0
(f
′′
(x) ≤ 0) на (a, b).
Справедливость теоремы следует из условия монотонности функ-
ции f
′
(x).

Страницы