Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2.19. Общая схема исследования функции 75
Из (2.33) получаем:
k = lim
x→∞
f(x) − b
x
= lim
x→∞
f(x)
x
, (2.34)
b = lim
x→∞
[f(x) − kx]. (2.35)
Соотношения (2.34) и (2.35) нужно рассматривать отдельно при
x → +∞ и при x → −∞, так как функция может иметь две разные
асимптоты при x → −∞ и x → +∞, не иметь одной из них или
обеих.
Пример. Пусть f(x) = x − 2 arctg x. Эта функция непрерывна на
всей числовой оси, поэтому вертикальных асимптот нет. Проверим
существование наклонных асимптот. Имеем
k
1
= lim
x→+∞
f(x)
x
= lim
x→+∞
x − 2 arctg x
x
= 1,
k
2
= lim
x→−∞
f(x)
x
= lim
x→−∞
x − 2 arctg x
x
= 1.
b
1
= lim
x→+∞
[x − 2 arctg x − x] = lim
x→+∞
(−2 arctg x) = −π,
b
2
= lim
x→−∞
[x − 2 arctg x − x] = lim
x→−∞
(−2 arctg x) = π.
Таким образом, функция f(x) = x − 2 arctg x имеет асимптоту
y = x − π при x → +∞ и асимптоту y = x + π при x → −∞.
2.19. Общая схема исследования функции
и построения графиков
Можно предложить следующий план действий.
1. Найти область определения и область зн ачений функции.
2. Определить, является ли функция четной или нечетной или
является функцией общего вида.
3. Выяснить, является ли функция периодической ил и неперио-
дической.
4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва
и охарактеризовать их, указать вертикальные асимптоты.
5. Найти наклонные асимптоты.
6. Найти производную функции и определить участки монотон-
ности функции, найти точки экстремума.
7. Найти вторую производную, охарактеризовать точки экстре-
мума, если это не сделано с помощью первой производной, ука-
зать участки выпуклости вверх и вниз графика функции и точки
перегиба.
8. Вычислить значения функции в характерных точках.
9. По полученным данным построить график ф ункции.

Страницы