Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

68 2. Дифференциальное исчисление
(f(x
0
) ≥ f(x)). Если для всех x ∈ U(x
0
) выполнено строгое нера-
венство f(x
0
) < f(x) (f(x
0
) > f(x)), то точка x
0
называется точкой
строгого минимума (максимума).
Определение 2. Точка x
0
называется точкой экстремума функции
f, если она является точкой максимума или минимума.
Теорема 1. Если точка x
0
— точка экстремума функции f и су-
ществует f
′
(x
0
), то f
′
(x
0
) = 0.
Доказательство. Пусть вначале f — скалярная функция одного
аргумента. Так как точка x
0
— точка наибольшего или наименьше-
го значения в некоторой окрестности U(x
0
), то по теореме Ферма
f
′
(x
0
) = 0.
Пусть теперь f скалярная функция многих переменных, т.е.
f = f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) и x
0
= (x
01
, x
02
, . . . , x
0n
). Фиксируя все перемен-
ные, кроме x
i
, из только что доказанного, получаем
∂f
∂x
i
(x
01
, x
02
, . . . , x
0n
) = 0, i = 1, 2, . . . , n,
т.е. f
′
(x
0
) =
df(x
0
)
dx
=
∂f
∂x
1
(x
0
),
∂f
∂x
2
(x
0
), . . . ,
∂f
∂x
n
(x
0
)
= 0. Для
дифференцируемой функции обращение в нуль производной
приводит к обращению в нуль дифференциала
df(x
0
) = f
′
(x
0
)dx =
n
X
i=1
∂f
∂x
i
(x
0
)dx
i
= 0.
Определение 3. Точка x
0
, в которой производная обращается в
нуль, называется стационарной точкой функции f.
Из теоремы 2 следует, что точки, в которых может достигаться
экстремум, являются либо её стационарными точками, либо в них
производная не существует. Такие точки будем называть подозри-
тельными на экстремум.
2.16.2. Достаточные условия экстремума
Для скалярной функции одной переменной достаточные условия
экстремума формулируются с помощью первой производной или на
основе высших производных.
Достаточные условия на основе первой производной. Пусть
функция f(x) определена и непрерывна в точке x
0
и некоторой её
окрестности и точка x
0
является подозрительной на экстремум для
этой функции. Если при переходе через точку x
0
производная f
′
(x):
1) меняет знак с “+” на “−”, то в точке x
0
— максимум;
2) меняет знак с “−” на “+”, то в точке x
0
— минимум;
3) не меняет знака, то в точке x
0
экстремума нет.

Страницы