Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

66 2. Дифференциальное исчисление
Неопределённости 0
0
, 1
∞
, ∞
0
сводятся к 0 ·∞ путём логарифми-
рования выражения φ(x) = f(x)
g ( x)
.
Пример 1. lim
x→0
x − arctg x
x
3
= lim
x→0
1 −
1
1 + x
2
3x
2
= lim
x→0
1
3(1 + x
2
)
=
1
3
.
Все условия теоремы 1 здесь выполнены.
Пример 2. Найти lim
x→0+0
x
tg x
.
Решение. Имеем неопределённость 0
0
. Логарифмируя выражение
y = x
tg x
, получаем ln y = tg x ln x =
ln x
1
tg x
.
lim
x→0+0
ln y = lim
x→0+0
ln x
1
tg x
∞
∞
= lim
x→0+0
1
x
−(tg x)
−2
1
cos
2
x
=
= lim
x→0+0
−(tg x)
2
cos
2
x
x
= − lim
x→0+0
sin
2
x
x
= − lim
x→0+0
sin x
x
sin x = 0.
Так как lim
x→0
ln y = 0, то lim
x→0
y = 1. Следовательно, lim
x→0+0
x
tg x
= 1.
2.15. Условия постоянства функции. Условия
монотонности функции
Теорема 1. Пусть функция f(x) определена и непрерывна в про-
межутке X (конечном или бесконечном, замкнутом или нет) и имеет
внутри не го конечную производную. Для того чтобы f(x) была в X
постоянной, необходимо и достаточно, чтобы f
′
(x) = 0 внутри X.
Необходимость условия очевидна: из f(x) = const следует
f
′
(x) = 0.
Достаточность. Пусть f
′
(x) = 0 внутри X. Фиксируем любую
точку x
0
∈ X и возьмём любую другую точку x ∈ X. К f(x) и
промежутку [x
0
, x] или [x, x
0
] применим теорему Лагранжа (все её
условия выполнены) f(x) − f(x
0
) = f
′
(c)(x − x
0
). Так как f
′
(c) = 0,
то f(x) = f(x
0
) = const.
Пример 1. Доказать, что arctg x = arcsin
x
√
1 + x
2
.
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = arctg x − arcsin
x
√
1 + x
2
.

Страницы