Дифференциальное исчисление. Магазинников Л.И - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

64 2. Дифференциальное исчисление
Доказательство проведём для функций двух переменных.
Пусть ξ
0
= (x
0
, y
0
). По условию теоремы функция f
′
(ξ) = f
′
(x, y) =
=
∂f
∂x
,
∂f
∂y
непрерывна, следовательно, непрерывны частные про-
изводные
∂f
∂x
,
∂f
∂y
в точке (x
0
, y
0
). Рассмотрим приращение функ-
ции ∆f = f(x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) − f(x
0
, y
0
) = [f(x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y)−
−f(x
0
, y
0
+ ∆y)] + [f(x
0
, y
0
+ ∆y) −f(x
0
, y
0
)]. Применяя к каждой из
разностей теорему Лагранжа, получаем
∆f =
∂f
∂x
(x
0
+ Θ
1
∆x, y
0
+ ∆y)∆x +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
+ Θ
2
∆y)∆y,
где 0 ≤ Θ
1
≤ 1; 0 ≤ Θ
2
≤ 1. В силу непрерывности частных произ-
водных
∂f
∂x
(x
0
+ Θ
1
∆x, y
0
+ ∆y) =
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) + α
1
(∆x, ∆y),
∂f
∂y
(x
0
, y
0
+ Θ
2
∆y) =
∂f
∂x
(x
0
, y
0
) + α
2
(∆y),
где α
1
и α
2
— бесконечно малые величины при ∆x → 0, ∆y → 0.
Теперь можем записать
∆f =
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)∆x +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)∆y + α
1
∆x + α
2
∆y =
=
∂f
∂x
∂f
∂y
∆x
∆y
+ α
1
∆x + α
2
∆y.
Так как величина α
1
∆x + α
2
∆y име ет порядок малости относи-
тельно
p
(∆x)
2
+ (∆y)
2
выше первого, что нетрудно показать, то это
и означает дифференцируемость функции f в точке ξ
0
.
2.14. Правило Лопиталя
При отыскании пределов часто не удаётся применить теоремы о
пределе суммы, произведения, частного, степени, так как возника-
ют неопределённости типа
0
0
,
∞
∞
, 0 · ∞, 0
0
, 1
∞
, ∞
0
, ∞ − ∞. Все
виды неопределённостей путём алгебраических преобразований или
логарифмирования удаётся свести к неопределённости
0
0
или
∞
∞
.
Теорема 1 (Лопиталя). Если
1) функции f(x) и g(x) определены на (a, b);
2) lim
x→a
f(x) = 0, lim
x→a
g(x) = 0;
3) всюду на (a, b) существуют производные f
′
(x) и g
′
(x), причём
g
′
(x) 6= 0;

Страницы